divisibilité par 11

[bastien90210]

Voila j'ai un question sur laquelle je bloque complêtement, donc je vous la met :

Montrer que 8^2001 - 8 est divisible par 11.

Bon maintenant, je sais que un nombre est divisible par 11, si et seulement si lorsque l'on calcul la somme A des chiffres en position impaire et la somme C des chiffres en position paire, et que la différence A-C (ou C-A) est divisible par 11.

Donc on pourrait partir de ça, mais je vois pas par ou commencer, ni procéder !

Merci d'avance !

[MiMoiMolette]

Ou bien cherche la puissance de 8 qui soit congrue à 1 (ou -1) modulo 11.
Soit x cette puissance.

Tu auras

Ensuite, si tu écris la division euclidienne de 2001 par x : , tu auras :



Etc

[bastien90210]

merci mimoimolette, je voyais pas trop si je devais ou pas utiliser les congruence, je vais essayer de poursuivre !

[bastien90210]

mais tu pense pas qu'il peut y avoir plusieur puissance qui soit congru à 1 ou -1 modulo 11 ?? coment je fais dans ces cas la ?

[Gwyddon]

Il te suffit d'en trouver une seule

Et si tu connais le petit théorème de Fermat, tu résouds l'exercice en 2 secondes puisque 11 est un nombre premier

[bastien90210]

Je connais pas le théorème de Fermat mdr ! mais je vois pas comment trouver cette puissance ! pck ca peut durer longtemps avant que je la trouve,non ?

[bastien90210]

g 8^5 congru à -1 (modulo 11)

[GalaxieA440]

A noter que cet exemple est particulièrement ennuyant avec la congruence parece qu'il demande d'essayer sur les 10 premiers termes avant de trouver quelque chose qui congrue à 1 modulo 11, j'ai un programme sur CASIO qui fait ça rapidement, mais bon, pour ceux qui n'en ont pas....

En tout cas ce genre d'éxos à été détaillé dans le fil sur la spe maths, si tu veux quelques autres exemples....

++

[bastien90210]

je trouve donc 8^2001 = 1^400 x 8^1 (modulo 11)

c'est ça ???

mais je poursuit comment la suite ?

en rajoutant -8 ?

[MiMoiMolette]

Hey, c'est (-1)^400, pas 1^400, même si ça ne change rien puisque 400 est pair.

Donc, tu trouves que c'est congru à 1^400 x 8 = 8, non ?
Et ensuite, oui, tu ajoutes -8



@Gwyddon : ils font pas ça en terminale je crois oO

[GalaxieA440]

Propriété sur la somme des congruences :

tu as 8^2001 que tu as exprimé (8^5)^400 x 8

Donc ton expression devient (8^5)^400 x 8 -8
(8^5)^400 congrue ? mod 11
8 congrue ?? mod 11
et -8 congrue ??? mod 11

Donc (8^5)^400 x 8 -8 congrue ?????? mod 11 (la c'est plus que du cours...)

[bastien90210]

8^2001 congru à -1^400 x 8 (modulo 11)

donc 8^2001 congru à -8 (modulo 11)

mais le probleme c'est qu'il me faut 8^2001 - 8 divisible par 11 !

et la ça donne 8^2001 + 8 divisible par 11

[bastien90210]

au final ca congru à 0 (modulo 11) ca je suis OK, mais je voudrai 8^2001 - 8 congru à 0 (mod 11) et pas 8^2001 + 8 congru à 0 (mod 11)

[MiMoiMolette]

Hey...

(-1)^400 = 1, pas -1.

Donc, 8^2001 est congru à 8 et non -8.

Et après, tu en déduis la congruence de 8^2001 - 8.

[bastien90210]

jcroi chu pa réveiller : (-1)^400 ca donne 1 ???????????????????