Limites et dérivés?

kershen · 04/11/2007 - 18h33

Bonjour a tous,
voila mon petit probleme de math qui ma deja occupé tout l'apres midi:
jai la fonction f(x)= x-(x²+100x-2541)^1/2
Et je dois etudier la limite de f(x) pour x tends vers +infini
J'ai tenté plusieurs résultats, mais aucun ne correspondent à ce que me dit la calculatrice graphique: F(x) tends vers -50 !!
J'ai confirmé en remplacant x par des nombres monstrueux, et effectivement, la limite semblerait etre -50
Cependant, comment le prouver?
Peut etre en utilisant les dérivés, dans quel cas f'(x)=-50 ?
Ou bien est ce une pure coincidence?

Antho07 · 04/11/2007 - 18h59

Je ne vois pas le rapport dans votre exercice entre la limite de la fonction et le fait de chercher quanc c'est que la dérivée est égale à -50

Il est vrai que la limite est -50, j'ai cepandant utilisé une méthode non apprise au lycée.

J'ai factorisé sous la racine par x² et utilisé un développement limité pour conclure.

je réflechie à une méthode éventuelle n'utilisant pas cette technique

Antho07 · 04/11/2007 - 19h18

Vous avez normalement vu l'approximation affine.

Pour un h tres petit:

On a f(a+h)=f(a)+hf'(a);

ici,
on a :

$f(x)=x-\sqrt{x^{2}+100x-2541}=x-\sqrt{x^{2}(1+\frac{100}{x}-\frac{2541}{x^{2}})}$

$=x-x\sqrt{1+\frac{100}{x}-\frac{2541}{x^{2}}}$

ici lorsque x tend vers + linfini

on a $\frac{100}{x}-\frac{2541}{x^{2}}$
qui tend vers 0

donc on peut poser h= $\frac{100}{x}-\frac{2541}{x^{2}}$

et utiliser l'approximation affine de $\sqrt{1+h}$

qui est:

$\sqrt{1+h} \approx \sqrt{1}+ h\frac{1}{2\sqrt{1}}=1+\frac{1 }{2}h$

donc $lim_{x \to \infty} f(x)= lim_{x \to \infty} (x-x(1+\frac{1}{2}(\frac{100}{x}-\frac{2541}{x^{2}}))$
$=lim_{x \to \infty}(x-x-50\frac{x}{x}-\frac{2541}{x})$
$=lim_{x \to \infty}(-50-\frac{2541}{x})=-50$