Calcul du volume de fioul dans une cuve cylindrique

Spider Bichon · 09/11/2007 - 10h23

Bonjour à tous.

Je suis un ancien élève de Prépa MT (T' pour les plus anciens) et j'ai voulu retrouver la formule pour calculer le volume de fioul qu'il me reste dans ma cuve cylindrique, mais les cours remontant à plus de 10 ans maintenant, je n'ai pas réussi.

Si quelqu'un pouvait m'aider, cela me soulagerait grandement car je n'aime pas rester sur un échec.

En attendant voici comment j'ai procédé (et mon erreur) :

tout d'abord j'ai considéré un cylindre de diamètre D et de longueur L auquel j'attribu un repère orthonormal (x,y,z) dont l'origine se trouve sur le diamètre du cercle de base, l'axe z définissant la longueur du cylindre, l'axe x définissant un diamètre du cercle de base et l'axe y étant perpendiculaire à l'axe x dans le plan du cercle de base, et je cherche à calculer le volume de fioul contenu en fonction de x.

Pour cela je défibni un élément de volume infinitésimal de volume dv=dx.dy.dz, et je calcule la triple intégrale suivante pour obtenir le volume cherché :
V = {{{dx.dy.dz avec z variant de 0 à L, x variant de 0 à h (h étant la hauteur de fioul dans la cuve), et y variant de ymin(x) à ymax(x) en fonction de x. (désolé pour "{" mais je sais pas comment symboliser le signe d'une intégrale).

on a immédiatement V = L {(ymax(x)-ymin(x)).dx avec ymax(x) et ymin(x) en fonction de x, et x variant de 0 à h.

de par la symétrie de la figure on s'aperçoit que ymin = - ymax, donc on a
V = L { 2.ymax(x).dx = 2.L { ymax(x).dx

Il faut alors trouver la fonction ymax(x) qui décrit le demi cercle de base du cylindre (et je pense que c'est là qu'est mon erreur).
Je choisi ymax(x) = D.sin(PI.x/D) = D.f(x) dont une intégrale de f(x) est F(x) = -D/PI.cos(PI.x/D)

J'obtiens donc V = 2.L { D.f(x).dx avec x variant de o à h.
D'où V = 2.L.D.[ -D/PI.cos(PI.h/D) + D/PI.cos(0) ]
Soit V = 2.L.D²/PI.[1 - cos(PI.h/D)]

Vérification de la formule :
- si h = 0 (la cuve est vide), alors V = 2.L.D²/PI.[1-cos(0)] = 0 -> "ok"
- si h = D (la cuve est pleine), alors V = 2.L.D²/PI.[1-cos(PI)]= 2.L.D²/PI -> "pas bon"

Merci d'avance.

vibraphone · 09/11/2007 - 10h37

Tu as posté ce problème dans la partie collège-lycée… donc je pense les triples intégrales et autres sont des inconnues pour nous. Par contre tu peux le poster dans la partie prépa.

Jeanpaul · 09/11/2007 - 11h12

Si je comprends bien, la cuve est couchée et l'axe z est horizontal ou alors c'est que la pesanteur est spéciale chez toi.
Pourquoi ne pas se limiter à calculer l'aire d'une zone circulaire ?
Un petit dessin montre que si h>R/2 la zone pleine est un demi-cercle plus deux 'parts de tarte" plus 2 triangles. Il est assez facile de calculer ces aires séprément, en introduisant un arc sinus de (h-R)/R

Spider Bichon · 09/11/2007 - 12h10

Merci Vibraphone, je n'avais pas vu qu'il y a avait 2 catégories.

Spider Bichon · 09/11/2007 - 12h26

Cher Jean-Paul,

Effectivement la cuve est couchée et l'axe z est horizontal.
Ainsi l'axe x est vertical.

"Pourquoi ne pas se limiter à calculer l'aire d'une zone circulaire ?"
Tout d'abord parce que je ne me souviens pas de la formule et que je n'y aivais pas songé. Mais c'est une possibilité merci de ta suggestion.
Ensuite parce que cela nous oblige à avoir 2 formules selon que h est supérieur ou inférieur à R (R=D/2). Or ce que je cherche c'est en fait la démonstration de la formule du volume d'un cylindre plein bien connue de tout le monde : V = aire de la surface de base x longueur = PI.R².L = PI.D²/4.L, mais pas en utilisant les coordonnées polaires.

Mais comme l'a fait remarqué le Vibraphone, ce problème est plus de l'ordre de la première année de prépa que de la terminale.

En tous cas merci d'avoir répondu.

Ouk A Passi · 10/11/2007 - 14h34

Bonjour,

"Pourquoi ne pas se limiter à calculer l'aire d'une zone circulaire ?"
Tout d'abord parce ......
Ensuite parce que cela nous oblige à avoir 2 formules selon que h est supérieur ou inférieur....

pas forcément!

Le niveau de liquide est une corde du cercle.

L'une des extrémités de cette corde,
et
l'axe Ox passant par le centre de ta citerne
(vue ici comme une section circulaire),
determinent un angle au centre.

Le signe du sinus de cet angle doit te permettre de savoir si ta cuve est
"+ qu'à moitié pleine" ou "- qu'à moitié vide.

Les "fonds" circulaires sont-ils plans ou bombés?
On n'a pas fini!

Ciscoo · 10/11/2007 - 15h46

Bonjour à tous

Il y a plusieurs années de cela, j'avais fait le petit fichier ci-joint à l'aide d'une formule trouvée dans un petit bouquin de géométrie... Il y a certainement moyen d'organiser cela autrement... J'avais vérifié les résultats avec un tableau trouvé dans un autre livre, et aussi "expérimentalement".

Bonne journée à tous.

Ouk A Passi · 10/11/2007 - 16h08

Bonjour,

Le zip n'est pas encore accessible.

Pour patienter....
http://pagesperso-orange.fr/therese....extes/cuve.htm

Ouk A Passi · 11/11/2007 - 12h22

Je ne parviens pas à ouvrir correctement le Zip!

mx6 · 11/11/2007 - 13h21

Le zip marche parfaitement utilises Winrar

Dedans y a un fichier exel montrant une courbe de la hauteur du liquide en fonction du volume du liquide !

Ouk A Passi · 11/11/2007 - 22h01

Bonjour,

Décidément, tout va mal aujourd'hui!

WinRAR (évaluation) me donne un fichier texte!

Muzungu · 04/07/2012 - 13h43

Bonjour a Tous,

J'ai utilise le fichier de ciscoo, super. J'ai cependant une question, comment calculer le volume d'une cuve ovale en prenant en compte les deux demi cercles.
Merci bien

Jeanpaul · 04/07/2012 - 16h03

C'est la section de la cuve qui est ovale, je suppose. Un ovale (une ellipse) est un cercle écrasé dans le rapport R entre le petit axe et le grand axe. Dès lors, c'est la même approche qu'une cuve cylindrique mais on multiplie le volume trouvé par R et c'est bon.

vuaerom · 27/07/2012 - 08h11

Je suis un peu à la bourre, mais le plus simple (je pense avoir compris que ca a déjà était dit), est de calculer la surface sur un coté de la cuve (cercle) et multiplier ensuite par la longueur de la cuve

Paraboloide_Hyperbolique · 27/07/2012 - 11h48

Voici le calcul que je suppose Spider Bouchon a voulu faire:

Avec les conventions qu'il a choisie pour les axes x, y, et z; on passe en coordonnées cylindriques:

$x = r \ \cos \theta; \ y = r \ \sin \theta; \ z = z$

Alors le volume du cylindre est:

$\int_V \, d^3 x = \int_0^R r \, dr \ \int_0^{2 \pi} \, d\theta \ \int_0^h \, dz = 2 \pi h \left[\frac{r^2}{2} \right]_0^R = \pi R^2 h$

Où le $r$ supplémentaire qui apparaît vient du déterminant du jacobien de la transformation de coordonnées:

$g: R^3 \rightarrow R^3: (x, y, z) \mapsto (r \ \cos \theta, \ r \ \sin \theta, \ z)$

Qui vaut:

$dét J = dét \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -r \ \sin \theta & r \ \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = r \ \cos^2 \theta + r \ \sin^2 \theta = r$

Calcul du volume de fioul dans une cuve cylindrique