Nombres premiers TS spé maths.

[Goldtop]

Bonjour à tous j'ai un exo de spé maths donc sur les nombres premiers et la ça fait plus de 2h que je calcul de partout et je tourne autour du pot!
Désolé je sais pas comment mettre les sigma et autres^^.

Enfait il faut trouver tout d'abord les diviseurs de a=(2^n).p
D'après moi on aurait toutes les puissances de 2, p et 1.
Il faut ensuite calculer la somme S des diviseurs en fonction de n et p.
Elle est donc égale à la somme des nombres pairs de p et de 2.
On a car la somme des puissances de 2 est égale à la somme des nombres pairs et 1.

J'arrive à quelque chose de la forme [-1+n^(n+1)]+2+p.
Ici on remplace p par [2^(n+1)-1], et je dois retrouver ma somme égale à a avec p= [2^(n+1)-1] et donc montrer que a est un nombre parfait!

Alors soit il y a une erreur dans mon raisonnement, soit je me trompe dans les calculs éclairez ma lanterne svp.
Merci
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[DSCH]

Bonjour, en effet, il te manque des diviseurs dans ta liste de départ, ce qui rend hélas la suite fausse !

[invite5cf37a3e]

Bonjour,
Pour moi, il te manque n diviseurs

[invite5cf37a3e]

car la somme des puissances de 2 est égale à la somme des nombres pairs et 1.

Vu autrement:
En binaire, la somme des puissances de 2 s'écrit (en partant de 2^0):

S=11111...1111
(n+1)"1"

S = S+1-1= 100000...0000 - 1
(n+1)"0"
donc S = 2^(n+1) - 1

Il manque tout les autres diviseurs!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5cf37a3e]

car la somme des puissances de 2 est égale à la somme des nombres pairs et 1.

Gloups!
Puissance de deux = entiers pairs ????

[Goldtop]

Oui c'est pas faux, c'est pas les entiers pairs ^^.
Pour la somme enfait je trouve comme toi mais en partant de 2^1...
Je trouve S= somme 2^n +1 +p avec n supérieur ou égal à 1 ça serait faux alors.
Et puis pour les autres diviseurs ça seraient les produits des puissances de 2 et de p??

[invite5cf37a3e]

Oui c'est pas faux, c'est pas les entiers pairs ^^.
Pour la somme enfait je trouve comme toi mais en partant de 2^1...
Je trouve S= somme 2^n +1 +p avec n supérieur ou égal à 1 ça serait faux alors.
Et puis pour les autres diviseurs ça seraient les produits des puissances de 2 et de p??

Salut,

Quand je t'écrivais S, je ne considèrais que de la somme des puissances de deux et non le résultat que tu espères.

La façon d'obtenir ce résultat n'est pas unique. Quand on peut, il faut se faire plaisir en sélectionnant la plus élégante. A toi de choisir!

Pour les autres diviseurs, tu tiens le bon bout.
Attention à l'effet de bord sur les "1": prends les comme intégrer dans la somme des puissances de 2.

Maintenant, je pense que tu as trouvé:
S=(2^(n+1) - 1)(p+1)

[Goldtop]

Et ben non je dois vraiment être mauvais
Enfait je trouve :
S = 2^(n+1) - 1 + p + p.2^(n+1)
S = 2^(n+1) - 1 + p(2^(n+1)+1)
Et donc je ne peux pas arriver à ta factorisation...

[invite5cf37a3e]

Et ben non je dois vraiment être mauvais
Enfait je trouve :
S = 2^(n+1) - 1 + p + p.2^(n+1)
S = 2^(n+1) - 1 + p(2^(n+1)+1)
Et donc je ne peux pas arriver à ta factorisation...

Salut Goldtop,

Tu sembles d'accord avec :
somme des n puissances de 2 = 2^(n+1) - 1

c'est à dire
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^n

si tu multiplies par p

p + 2p + 4p + 16p + ... +2^np

Ce sont là tous tes diviseurs de a, non? 1 et p compris!

donc 2^(n+1) - 1 + p (2^(n+1) - 1)

Et le tour est joué.

[Goldtop]

Bah bien sur!!Je suis vraiment un boulet sur ce coup là
Encore merci!

[Goldtop]

Me revoila, je voudrais pas abuser mais je refais les calculs dans tout les sens...
Et on trouve donc S = [2(n+1)] [2(n+1)-1] or, on doit trouver
S = (2^n) [2(n+1)-1] et je ne peux donc pas arriver à conclure que
a = (2^n).p est un nombre parfait...

[invite5cf37a3e]

Relis bien ton énoncé.

Un nombre parfait n est un nombre égale à la somme de ses diviseurs STRICTS.
donc n = somme (diviseurs stricts sans n) =2.somme(tous les diviseurs y compris n)


Sinon c'est impossible : tu es en train de dire:
n = n + le diviseur précédent + le diviseur précédent + ... + 1
ça fait beaucoup!

Dans notre cas, il faut retirer "a" au résultat obtenu à la somme calculée

soit:
(2^(n+1)-1)(p+1) - a = ( 2^n(2^(n+1)-1) =a
et donc a est parfait.

[Goldtop]

Ca yest!! Les maths c'est toujours pareil tu cherches tu cherchers t'es pas loin de trouver mais il te manque toujours un ou 2 trucs qui font que tu tournes en rond .
Encore merci!