Les Nombres Premiers (niveau TS Spe Maths)

[Johnsguy]

Bonjour tout le monde ~ j'aimerai avoir des aides pour mon exercise qui concerne les nombres premiers

L'exercice est le suivant :
1. Démontrez que si trois entiers relatifs a,b, et c sont tels que la somme
a^3 + b^3 + c^3 est divisible par 3 alors le somme ( a + b + c ) est aussi divisible par 3.

Je ne veux pas la solution de ce problème mais comment faire ? comment il faut commencer ? Je veux simplement un fil directeur ^^ et puis je vais essayer de resoudre et si ca marche pas je reviendrai ^^ mais d'abord tout seul ou ça n'aura rien servi à moi ^^::::::

Merci en avance de repondre à mes questions
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[invite2e8ce3aa]

Yop!

Tu sais que tout nombre s'écrit sous la forme x = 3k + r avec r appartenant à {0,1,2}, k appartenant à Z
Mets x au cube et trouves une relation entre la division de x^3 par 3 et ce que tu obtiens.

[DSCH]

Bonsoir, l'idée avancée par patatoïde s'écrit encore plus facilement si tu connais les congruences. En travaillant modulo 3, a, b et c ne peuvent prendre que trois valeurs (0, 1 et 2). Teste tous les cas possibles (exemple : si a est congru à 0 modulo 3, alors son cube est aussi congru à 0 modulo 3, etc.).

En passant, je ne vois pas de rapport entre ton exercice et les nombres premiers…

[Johnsguy]

moi non plus ^^ mais bon mon professeur m'a donné ça pendant plein cours de nombres premiers donc quand j'en ai aucune idée ... ^^ bref merci tout le monde maintenant je vais le faire ^^ ah maths maths quelle matière sympathique xD

[A voir en vidéo sur Futura]

[Johnsguy]

En travaillant modulo 3, a, b et c ne peuvent prendre que trois valeurs (0, 1 et 2). Teste tous les cas possibles (exemple : si a est congru à 0 modulo 3, alors son cube est aussi congru à 0 modulo 3, etc.).

Mais c'est faut puisque a b c peuvent prendre n'importe quelle valeurs (contre exemple a = 4 b = 5 et c = 6) c'est le reste r qui peut prendre que trois valeurs (0, 1 et 2).En plus c'est une démonstration à un sens donc il faut partir de a^3+b^3+c^3.

on a a^3+b^3+c^3 congru à 0 [3]
<==> a^3+b^3+c^3 = 3k avec k appartient à Z.

mais comment faire à partir de la ?

[invite2e8ce3aa]

Tu as le reste de a^3 b^3 et c^3 par la division par 3 en fonction des restes de la divison de a,b et c par 3.

Somme a^3, b^3 et c^3 d'une part, somme les restes obtenus par tes congruences d'autre part.
Et conclus

[DSCH]

Mais c'est faut puisque a b c peuvent prendre n'importe quelle valeurs (contre exemple a = 4 b = 5 et c = 6) c'est le reste r qui peut prendre que trois valeurs (0, 1 et 2).

Ce n'est pas faux, c'est une façon de parler à laquelle tu n'es pas encore habitué. Je n'ai pas dit que a, b et c ne pouvaient prendre que « trois valeurs » tout court. J'ai dit qu'ils ne pouvaient (chacun) prendre que « trois valeurs modulo 3 » (à lire d'un trait). En clair, comme tu dis, leur reste dans la division euclidienne par 3 ne peut prendre que trois valeurs. Maintenant, comme a, b et c sont congrus à leur reste modulo 3, il est vrai que chacun d'entre eux est forcément congru à l'un des nombres 0, 1 ou 2 modulo 3. Et c'est ainsi que tu n'as que peu de cas à tester.

Par exemple, si a est congru à 0, alors son cube est congru à… Si a est congru à 1, alors son cube est congru à… Si a est congru à 2, alors son cube est congru à… Et voilà tous les cas possibles de traités pour a. Que remarque-t-on ?

[Johnsguy]

donc si je fais tous les cas j'obtiens :
on a a^3+b^3+c^3 est divisible par 3 donc r peut etre que 0 ,1 et 2
ici = veut dire congru à ....

a = 0 [3]
a^3 = 0 [3]
a = 1 [3]
a^3 = 1 [3]
a = 2 [3]
a^3 = 2 [3] car 8 = 3x2 +2

b = 0 [3]
b^3 = 0 [3]
b = 1 [3]
b^3 = 1 [3]
b = 2 [3]
b^3 = 2 [3] car 8 = 3x2 +2

c = 0 [3]
c^3 = 0 [3]
c = 1 [3]
c^3 = 1 [3]
c = 2 [3]
c^3 = 2 [3] car 8 = 3x2 +2

a , b et c sont differents donc leurs somme vaut forcement 3
on vient de montrer que les restes ne changent pas lorsqu'on met au cube a b c donc on en deduit que la somme a^3+b^3+c^3 est divisible par 3 alors le somme (a+b+c) est aussi divisible par 3

est ce que j'ai bien rédigé ? ^^:

[Johnsguy]

ah une question suplémentaire

Démontrez que si ( a^3+b^3+c^3 ) est divisible par 9 alors l'un au moins des trois nombres a, b , c est divisible par 3.

La méthode que vous m'avez proposé est "pas approprié" avec cette question puisque r peut prendre (0,1,2,3,4,5,6,7,8) donc une autre solution ?

peut on passer de [3] à modulo [9] ?

a b c peuvent être divisibles par 3 si et seulement si a b c a le reste 3 ou 6. Je pense que j'ai faux ...

je vous excuse de demander autant de question .
merci encore pour votre aide