TS arithmétique nombre de diviseurs positifs d'un entier

raptor77 · 10/11/2007 - 19h49

Bonjour les amis j'ai un petit problème avec cet exercice
soit n un entier naturel au moins égal à dont la décomposition en facteurs premiers est donnée par n=P1 $^\alpha1$ P2 $^\alpha2$ ...Pr $^\alpha r$ ...

où P1, P2, ...Pr sont des nombres premiers deux à deux disctincts et $\alpha1$ , $\alpha2$ ,..., $\alpha r$
On note D(n) le nombre de diviseurs positifs de n
Après avoir décris l'ensemble des diviseurs de n montrer que
D(n)=( $\alpha1$ +1)( $\alpha2$ +2)*...*( $\alpha r$ +1)
Montrer que D(n) est impair si et seulement si n est impair
Montrer que n $^D(n)$ est un carré parfait et que le prdouit de tous les diviseurs de n est $\sqrt{n^D(n)}$

Je bloque complétment sur cet exercice même si j'ai réussi à faire les apllications
Merci d'avance pour votre aide
Cordialement Raptor

Antho07 · 10/11/2007 - 20h26

Pour répondre à la premiere question, je propose un petit exemple pour voir ce qui se passe.

Par exemple prenons le nombre N=2^3*4^2

Combien admet il de diviseur?

il admet comme divisieur:
$2^{0} \times 4^{0}$
$2^{0} \times 4^{1}$
$2^{0} \times 4^{2}$

mais aussi
$2^{1} \times 4^{0}$
$2^{1} \times 4^{1}$
$2^{1} \times 4^{2}$

puis

$2^{2} \times 4^{0}$
$2^{2} \times 4^{1}$
$2^{2} \times 4^{2}$

puis

$2^{3} \times 4^{0}$
$2^{3} \times 4^{1}$
$2^{3} \times 4^{2}$

donc en tout 12 diviseur
(2+1)*(3+1)

Le +1 provient de la puissance 0 qui faut prendre en compte

MiMoiMolette · 10/11/2007 - 20h29

Envoyé par raptor77

D(n)=( $\alpha1$ +1)( $\alpha2$ +2)*...*( $\alpha r$ +1)

$\alpha2$ +1, non ?

Edit : Bon, truc qui sert vachement avec ce qu'a fait Antho

Sinon, au lieu de la manière intuitive, tu peux montrer ça par récurrence.

Avec comme cas de base n = 1 et n = $P_1^{\alpha_1}$
Et pour la récurrence, tu ajoutes un facteur $P_q^{\alpha_q}$

raptor77 · 10/11/2007 - 20h32

Envoyé par MiMoiMolette

$\alpha2$ +1, non ?

Bon, truc qui sert vachement avec ce qu'a fait Antho

Sinon, au lieu de la manière intuitive, tu peux montrer ça par récurrence.

Avec comme cas de base n = 1 et n = $P_1^{\alpha_1}$
Et pour la récurrence, tu ajoutes un facteur $P_q^{\alpha_q}$

Je comprends pas trp comment tu peux faire avec la récurrence?

MiMoiMolette · 10/11/2007 - 20h38

La récurrence porte sur le nombre de diviseurs, en fonction des valuations p adiques (les alpha) des diviseurs.
L'hypothèse de récurrence sera : D(n)=...
Quand tu multiplies par un diviseur avec un "alpha" quelconque, tu prouveras qu'il y a D(n)*([cet alpha]+1) diviseurs, en faisant la méthode d'Antho, où tu prouves que tu ajoutes un certain nombre de diviseurs.

Arf...je suis sûre que ce n'est pas clair...autant faire une méthode que tu comprennes en fait

raptor77 · 10/11/2007 - 20h38

oui c'est alpha 2 +1

Antho07 · 10/11/2007 - 21h01

Envoyé par MiMoiMolette

La récurrence porte sur le nombre de diviseurs, en fonction des valuations p adiques (les alpha) des diviseurs.
L'hypothèse de récurrence sera : D(n)=...
Quand tu multiplies par un diviseur avec un "alpha" quelconque, tu prouveras qu'il y a D(n)*([cet alpha]+1) diviseurs, en faisant la méthode d'Antho, où tu prouves que tu ajoutes un certain nombre de diviseurs.

Arf...je suis sûre que ce n'est pas clair...autant faire une méthode que tu comprennes en fait

Pour tenter d'éclaircir.

La récurrence va porter sur le nombre de nombre premier qu'il existe dans la décomposition en facteur premier d'un nombre.

Initialisation:
Un seul facteur premier(P1) à une puissance n1.
Donc N=P1^{n1}

il admet comme divisieur:
$P_1^{0}=1$
$P_{1}$
$P_{1}^{2}$
..
..
$P_{1}^{n_{1}}$ =N

soit n1+1 diviseurs et cela vérifie la formule.

Supposons la formule vrai pour un nombre admettant q nombre premier dans sa décomposition chacun à une puissance ni

donc N s'écrit
N=P1^n1 * P2^n2 * ... *Pq^nq.

On sait par hypothese de recurrence que ce nombre admet (n1+1)*(n2+2)*...*(nq+1) diviseurs.

SOit maintenant un nombre admettant q+1 nombres premiers...

ce nombre s'écrit N * Pq+1^nq+1.

Combien ce nombre admet de diviseur,
ben
Pq+1^0 * D(n)
Pq+1^1*D(n)
..
Pq1^n*d(n)

soit en tout d(n)*(n(q+1) + 1) ce qui montre la formule

ouaou sa a lair super clair.

chaud a expliquer clairement sa lol

raptor77 · 10/11/2007 - 21h25

je pense que ta démonstration est un peu compliqué à mon niveau est-ce que ya pas un autre moyende le démontrer?

GalaxieA440 · 10/11/2007 - 21h27

http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

L'éxercice 9 de ce fil pourrait t'aider, regarde la correction

... Tu dois faire un arbre pour montrer vraiment clairement que d(n) = (a1+1)...(ak+1)...

Antho07 · 10/11/2007 - 21h41

je pense que ce que je vais écrire n'est peut etre pas tres rigoureux mais sera une reponse convenable.

On prendre un nombre N.
On le décompose en facteurs premier:

$N=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times ... \times p_{n-1}^{\alpha_{n-1}} \times p_{n}^{/alpha_{n}}$

Quels sont ses diviseurs??

$p_{1}^{0} \times p_{2}^{0} \times ... \times p_{n-1}^{\alpha_{0} \times p_{n}^{0}$

raptor77 · 10/11/2007 - 21h44

Envoyé par GalaxieA440

http://forums.futura-sciences.com/thread174211.html

L'éxercice 9 de ce fil pourrait t'aider, regarde la correction

... Tu dois faire un arbre pour montrer vraiment clairement que d(n) = (a1+1)...(ak+1)...

Comment tu veux représenter un arbe avec autant de variables?

En plus dans l'exercice ils se servent d'un exemple avec n=2^a*5^b

Antho07 · 10/11/2007 - 21h50

Envoyé par Antho07

je pense que ce que je vais écrire n'est peut etre pas tres rigoureux mais sera une reponse convenable.

On prendre un nombre N.
On le décompose en facteurs premier:

$N=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times ... \times p_{n-1}^{\alpha_{n-1}} \times p_{n}^{/alpha_{n}}$

Quels sont ses diviseurs??

$p_{1}^{0} \times p_{2}^{0} \times ... \times p_{n-1}^{\alpha_{0} \times p_{n}^{0}$

fausse manip je peux plus modifier et j ai pas envie de tout retaper en plus c etais tres bof.

LE principe c est l arbre.

Combien on a de choix au niveau puissance pour le premier facteur premier:
alpha1 + 1 (ne pas oublier la puissance 0)
Pour le deuxieme alpha2+2
...
pour le nième alpha n +1

donc au total

(alpha1 + 1)(alpha2 +2)...(alphan+n)

raptor77 · 10/11/2007 - 22h20

C'est bon j'ai réussi!!
je pense ausis réussir le 1)b 1)c 2) a par contre j'ai du mla pour le 2)b :
Montrer que n^D(n) est un carré parfait et que le prdouit de tous les diviseurs de n est racine (n^D(n)

MiMoiMolette · 11/11/2007 - 08h31

Montrer que D(n) est impair si et seulement si n est impair

C'est bizarre, parce que si je prends n = 15 (donc impair), n = 3^1*5^1.
Donc D(n) = 2*2, pair...

Aurais-je loupé une condition dans l'énoncé ?

PS : de ce que je sais, la démonstration par récurrence est au programme de la TS ^^

GalaxieA440 · 11/11/2007 - 08h56

Pour ce qui est de l'arbre, tu ne représentes évidemment pas toutes les branches

, tu en laisses en pointillées, mais ça donne un aperçu qui te permet de n'oublier aucune solution... ex 2^a*5^b :

2^0------------5^0
2^0------------5^1
2^0------------ ...
2^0------------5^b

2^1------------5^0
2^1------------5^1
2^1------------ ...
2^1------------5^b

....

2^a------------5^0
2^a------------5^1
2^a------------ ...
2^a------------5^b

Il est donc évident que tu as (a+1) branches principales du bout desquelles partent b+1 branches secondaires, d'ou la formules (a+1)(b+1)...(k+1).

C'est il me semble un moyen très clair de rédiger....

Pour ce qui est de la constatation de mimoimolette, j'ai fait pareil hier soir, je pense qu'il faut montrer que Dn ne peut être impair que si n est impair, mais je n'ai pas réussi. Yaurait il une erreur dans l'énnoncé ???