devoir maths TS équation différentielle

[titejeny8509]

dsl mais je ne vois pas

[Tonton Nano]

dsl mais je ne vois pas

Je pars de
ln(x+1)> x/x+1
je multiplie par 1/x (qui est positif donc pas de changement de sens)
1/x ln(x+1)> 1/x+1

et je cherche un minorant de 1/x+1
0 < x <=1
donc
1/2 <= 1/x+1 <1

d'où
1/x ln(x+1) > 1/2

[titejeny8509]

pour la question 5.
Zo=2exp(-x)-1

2exp(-x)-1=0
2exp(-x)=1
exp(-x)=1/2
exp(-x)=exp(ln(1/2))
-x=ln1/2
x=-ln1/2

[Tonton Nano]

pour la question 5.
Zo=2exp(-x)-1

2exp(-x)-1=0
2exp(-x)=1
exp(-x)=1/2
exp(-x)=exp(ln(1/2))
-x=ln1/2
x=-ln1/2

Deux minutes papillon ... pourquoi il n'y a pas de lambda dans Zo ?
Je crois qu'on s'est planté ...

l'équation diff en z est
z' + lambda z = -1

donc Zo(x) = k exp(-lambda x) -1
et Zo(0) = 1
donc Zo(x) = 2 exp(-lambda x) -1

Je suis vraiment désolé de ne pas l'avoir vu plus tot ...

[titejeny8509]

ce n'est pas grave !
donc j'ai fais 2exp(-lambdax)-1=0
x=- ln1/2 / lambda

[Tonton Nano]

ce n'est pas grave !

Ben si ! tu viens pour que je t'aide et je t'enduis d'erreurs !

Je te propose de montrer que Zo est strictement décroissante et que Zo(1/2) > 0.

Pour ca, on montre que la dérivé de Zo est strictement négative (pas de pb) puis on calcule Zo(1/2) = 2 exp(-lambda / 2) -1
Je veux montrer que ce machin est positif.

Je sais que 1/lambda ln(lambda +1) > 1/2 donc
lambda + 1 < exp(-lambda/2)
(je multiplie par -lambda (négatif) et je prend l'exp (croissante))

Je multiplie tout par 2 et j'enlève 1 de chaque coté :
2lambda + 1 < 2 exp(-lambda/2) -1 = Zo(1/2)

il reste à montrer que 2lambda + 1 est positif, ce qui ne devrait pas poser de pb ...

[titejeny8509]

je suis perdue là...

[Tonton Nano]

je suis perdue là...

tu bloques où ? Dis moi ce que tu as compris, et ce qui te pose pb.

[titejeny8509]

je comprends pas 1/lambda*(lnlambda+1)>1/2

[Tonton Nano]

je comprends pas 1/lambda*(lnlambda+1)>1/2

c'est ce qu'on a démontré à la question 4

[titejeny8509]

oui mais je ne comprends pas à quoi ça nous sert ici et puis je ne comprends pas aussi
lambda + 1< exp(-lambda/2)

[Tonton Nano]

oui mais je ne comprends pas à quoi ça nous sert ici et puis je ne comprends pas aussi
lambda + 1< exp(-lambda/2)

J'ai encore fait une petite erreur

J'ai montré que Zo est décroissante donc pour répondre à la question 5, j'aimerai montrer que son minimum (en x = 1/2) est positif.

Donc, je calcule Zo(1/2). Ce qui vaut 2 exp(-lambda / 2) -1.

Je ne sais pas tout de suite que ce truc est positif donc, je vais partir de la question 4 et la modifier pour essayer d'avoir une inégalité avec 2 exp(-lambda / 2) -1.


J'ai donc
1/lambda ln(lambda +1) > 1/2

Je multiplie par lambda (> 0, pas de changement de sens)
ln(lambda +1) > lambda/2
Je multiplie par -1 (< 0, changement de sens)
-ln(lambda +1) < -lambda/2
Je dis que -ln(x) = ln(1/x) donc
ln( 1/(lambda +1) ) < -lambda/2
Je passe à l'exp (croissante, pas de changement de sens)
1/(lambda +1) < exp(-lambda/2)
Je multiplie par 2, je soustrait 1
2/(lambda +1) -1 < 2exp(-lambda/2) -1
J'ai maintenant Zo(1/2) à droite. Je réduit le terme de gauche au même dénominateur.
(1 - lambda) / (1 + lambda) < Zo(1/2)

Et il ne me reste plus qu'à montrer que le terme de gauche est positif.
0 < lambda <= 1 donc
0 <= (1 - lambda) < 1
et (1 + lambda) > 0
d'où
(1 - lambda) / (1 + lambda) >= 0
donc Zo(1/2) > 0
Zo étant décroissante sur ]-inf ; 1/2], elle ne s'annule pas.
CQFD.

[titejeny8509]

pour la q.6 on utilise le théorème des valeurs intermédiaires ?

[titejeny8509]

pour la question 6 il faut juste démontrer que 2exp(-lambdax)-1 est strictement positif sur ]-oo;1/2[ ?

[Tonton Nano]

pour la question 6 il faut juste démontrer que 2exp(-lambdax)-1 est strictement positif sur ]-oo;1/2[ ?

Non, il faut trouver la fonction y correspondante.