Le plus grand nombre

[invitedf4bb0fd]

bonjour à tous
j'ai un exercice de math
et je n'y comprend rien!!
bref voici l'énnoncé :

a=0,459 621 126+1/0,459 621 126
b=0.459 621 127+1/0,459 621 127

sans utiliser la calculatrice, dire lequel des nombres a et b est le plus grand , justifier


bref la prof nous a dit d'étudier le signe de la fonction f(x)=x+1/x
ce qui est logique mais je vois pas comment m'en servir!!
je ne veu pas les réponses mais juste des explcations
merci d'avance
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[Gwyddon]

Bonjour,

Es-tu sûr que ta prof t'a demandé d'étudier le signe de f(x) = x + 1/x et pas plutôt son sens de variation ?

[invitedf4bb0fd]

re
oh oui effectivement c'est le sens de variation
mais je ne vois pas ce que sa change car il faudra étudier le signe
et je ne vois toujours pas en quoi ca peut m'aider!!!

[Gwyddon]

Qu'est-ce que t'indique le sens de variation d'une fonction ? Que signifie par exemple qu'une fonction est croissante ?

Ensuite calcule la dérivée, et dis moi ce que tu trouves.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf4bb0fd]

en calculant la dérivée je trouve
que la dérivée est décroissante de 0 à racine de 2
et croissante de racine de 2 à +l'infinie
(R=o;+infini)
f(racine de 2) = 3/racine 2
voilà
et ensuite?

[Gwyddon]

Oulàlà... Tu mélanges tout on va reprendre à zéro.

Comprends-tu la démarche déjà ? Je ne le crois pas, donc je vais te la réexpliquer.

Tu dois comparer deux nombres, et tu remarques que ces deux nombres sont construits de la même manière : comme images de deux nombres par une certaine fonction, la fonction f qui associe à un nombre x.

Or les deux nombres de départ 0,459 621 126 et 0,459 621 127 sont facilement comparables, ce que tu veux comparer c'est f(0,459 621 126) et f(0,459 621 127), une bonne manière de faire est de connaître le sens de variation de la fonction f dans la région de ces deux nombres.

Or pour connaître le sens de variation d'une fonction dérivable, une méthode simple est de regarder le signe de la dérivée. Ici tu peux te limiter à regarder f pour des réels x positifs, puisque les deux nombres sont positifs.

Donne-moi l'expression de ta dérivée.

[invitedf4bb0fd]

donc mon f ' (x) (dérivé) =(x+1/x)'
=1-1/x²

[Gwyddon]

Ok, factorise-le maintenant, et étudie le signe de f'.

[invitedf4bb0fd]

bon alors
en factorisant sa me donne
1/x(x-1)
j'espère que c'est ca
bon pour l'étude de signe je suis pas doué (comme pour tous les maths!)
mais c'est positif???????

[Gwyddon]

Euh... Alors là ta factorisation je ne sais pas trop d'où elle sort

Ce n'est pas la bonne réponse.

[invitedf4bb0fd]

ben je sais pas moi
pour factoriser 1-1/x c'est chaud

mais t'es sur que c'est faux la factorisation???

[Gwyddon]

Euh... Factoriser signifie 'mettre au même dénominateur', et je t'assure que celle que je te demande n'est pas trop compliquée

[invitedf4bb0fd]

donc ca donne (x-1)/x
mais je ne vois pas pourquoi ce que j'avait fait n'alllait pas ?

[Gwyddon]

donc ca donne (x-1)/x
mais je ne vois pas pourquoi ce que j'avait fait n'alllait pas ?

Ta factorisation est maintenant correcte, mais... Ce n'est pas la bonne dérivée

C'est quoi la dérivée de 1/x ?

[invitedf4bb0fd]

mais il faut la dérivée de x+1/x
ce qui donne
1-1/x²

[Gwyddon]

Ahhh là c'est bon

Maintenant tu factorises, tu étudie le signe de cette dérivée, et tu me dis quel est le sens de variation de f pour x positif.

[invitedf4bb0fd]

donc c'est croissant sur 0 +infini

[invitedf4bb0fd]

les détails :
factorisé ca donne (x²-1)/x²
donc tableau de signe tout positif avec 0comme valeur interdite
c'est donc strictement croissant

[invitedf4bb0fd]

mais ca va pas parce que si je trouve que f(x) est croissante sur 0;+infini
alors ma réponse sera fausse puisque si a<b
alors f(a)<f(b)
or c'est faut quand on vérifie à la calculette!!!

[Gwyddon]

Hello,

Tu es sûr que f'(x) est toujours positive ? Par exemple f'(1/2) ça vaut combien ?

[invitedf4bb0fd]

je comprend pas tout là
la prof nous a dit que f(x) appartenai à l'intervale 0;+infini donc je ne me suis pas posé de question j'ai pris cet intervale!

[Gwyddon]

Je ne suis pas en désaccord avec ta prof, je pointe juste du doigt que tu t'es trompé dans ton étude de signe

[invitedf4bb0fd]

on a donc une autre valeur interdite qui est ...
euh...

mais ca va pas

il y aurai
1/2 mais aussi 1???

[Gwyddon]

Bon on reprend à zéro...

Tu affirmes que f'(x) >0 pour tout x>0 ; or c'est faux, et je voulais te le faire comprendre en te faisant calculer f'(1/2) (on a bien 1/2 >0 hein !)

[invitedf4bb0fd]

ah ouai ok donc f'(x)>0 pour tout x sauf les valeur interdites 1/2 et 1 ??? c'est ca?

[Gwyddon]

Non... Un peu de repos, tu reprends tout ça au calme dans 10 minutes ok ? Parce que là tu t'embrouilles complètement

[invitedf4bb0fd]

mais je peu factoriser plus en mettant 1-1/x²=((x-1)/x)²
non se serait plus simple!
après je sais pas comment démontrer que 1/2 est une valeur interdite!!!

[Gwyddon]

Je t'en prie, suis mon conseil tu es en train de faire n'importe quoi, et je n'ai jamais dit nulle part que 1/2 est une valeur interdite. Respire un grand coup, et reviens un peu plus tard sur cette discussion en la reprenant à zéro et en te souvenant de tes identités remarquables

[invitedf4bb0fd]

c'est quoi le rapport avec les identités remarquables?

[Gwyddon]

Pour identifier le signe de f', c'est plus simple, parce que x²-1 = (x- ...)(x-...)