Problème avec mon DM de Maths TS

[Monique_2]

Voila j'ai un problème avec mon dm de maths. Je n'y arrive vraiment pas alors aidez moi svp!!

Parite A
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (o;vecteur u,vecteur v).
Soit P le point d'affixe p où p=10 et T le cercle de diamètre [OP].
On design par Ω le centre de T.
Soit A,B,C les points d'affixes respectives a,b,c où :
a=5+5i ; b=1+3i et c= 8-4i.

1)Montrer que A, B et C sont des points de T. (fait^^)
2)Soit D le point d'affixe 2+2i. Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).

Partie B
A tout point M du plan différent de O, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que z'=20/(conjugé de z).

1) Monter que les points O, M et M' sont alignés. (fait^^)
2) Soit ∆ la droite d'équation x=2 et M un point de ∆ d'affixe z. On se propose de déterminer géométriquement le point M' associé au point M.
a) Vérifier que z+(conjugé de z)=4.
b) Exprimer z'+(conjugé de z') en fonction de z et (conjugé de z) et en déduire que : 5(z'+(conjugé de z'))= z' x (conjugé de z').
c) En déduire que M' appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle T

Les questions en rouge je bloque trop alors aidez moi svp

[Cassano]

2)Soit D le point d'affixe 2+2i. Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC).

Tu fais un produit scalaire pour montrer que BC et DO sont orthogonaux, puis tu montre que D appartient a BC.

[Monique_2]

Merci beaucoup mais juste comment on fait pour montrer que D appartient à BC????

[Cassano]

Tu montre que les vecteurs DB et BC par exemple sont colinéaires.

[Monique_2]

c'est juste si je dit:
vecteur BC a pour affixe 7-7i=7(1-i)
vecteur BD a pour affixe 1-i
donc BC=7BD
les deux vecteurs sont colineaires donc D est sur (BC).

[Monique_2]

Merci Cassano pour ton aide peux tu me donner des pistes pour les autres questions stp??

[Cassano]

Oui ta justification ets bonne.

Pour les autres questions, il suffit d'écrire z et son conjugué sous forme algébrique : sachant que lasomme de deux complexes conjugués garde uniquement la partie reelle, et qu'ici elle vaut 2, je crosi que la a est aps trop dure... Pour la b, écrit sous forme algébrique z, z' et (conjugué de z), et puis bidouille. je te laisse cherche un peu

[Monique_2]

Pour la a j'ai remplacé comme tu m'as dit et je trouve bien 4 et pour la b j'ai bidouillé et j'ai trouvé:
z'barre=20/z
donc z'+z'barre=(20(z+zbarre))/(zbarre*z)
or z+zbarre=4
donc z'+z'barre=80/(z*zbarre) (1)
or z'*z'barre=400/(z*zbarre)
j'isole z*zbarre et je remplace dans l'équation (1) et je trouve 5(z'+z'barre)=z'*z'barre
CQFD
merci beaucoup pour ton aide

[Monique_2]

j'ai une idée pour la question c dites moi ce que vous en pensé:
d'après le question b on a 5(z'+z'barre)=z'*z'barre
on pose z'=x'+iy'
on remplace z'+z'barre par 2x' et z'*z'barre=Iz'I²=x'²+y'²
donc 5*2x'=x'²+y'²
donc x'²+y'²-10x'=0
donc (x'-5)²+y'²=25=5²
donc M' appartient au cercle T
or M,M' et O sont alignés donc M' appartient à (OM)
donc M' est le point d'intersection de la droite (OM) et du cercle T
c'est juste???

[Monique_2]

j'ai un autre exos dans mon dm et quelques questions me bloquent j'aimerais encore solicité votre aide:
pour tout entier naturel n, on pose Un= n¹⁰/2ⁿ
on définit ainsi une suite (Un)n appartenant à N
1\ Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante:
Un+1<ou=0.95Un si et seulement si (1+1/n)¹⁰<ou=1.9 (FAIT)

2\ on considère la fonction f définie sur [1;+00[ par:
f(x)=(1+1/x)¹⁰
a) étudier le sens de variation et la limite en +00 de f (FAIT)
b) Montrer qu'il existe dans l'intervalle [1;+00[ un unique nombre réel alpha tel que f(alpha)=1.9 (FAIT)
c) déterminer l'entier naturel n0 tel que n0-1<ou=alpha<ou=n0 (FAIT)
d) montrer que 'pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a:
(1+1/n)¹⁰<ou=1.9
3\a) déterminer le sens de variation de la suite (U)n à partir du rang 16 (FAIT)
b) Que peut-on en déduire pour la suite?
4\ En utilisant un raisonnement par récurence, prouver, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 16, l'encadrement:
0<ou=Un<ou=0.95^n-16U16
en déduire la limite de la suite (Un)n appartenent à N

comme tout à l'heure je bloque qur les questions en rouge alors aidez moi svp