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les nombres complexes terminale S

  1. sophie63

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    6

    les nombres complexes terminale S

    Voila l'énoncé d'un petit exercice de mathématiques,
    a et b sont deux entiers. on pose u = a+ib. Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, il existe deux entiers an et bn (n étant un indice et non une puissance) tels que z^n = an+ibn.

    j'a cri :
    p(n) : z^n = an +ibn

    initialisaton : pour n = 1
    z = a+ib
    ainsi p(1) est vraie
    hérédité : on suppose que p(n): z^n = an+ibn. démontrons que p(n+1) est vraie.
    z^(n+1) = z^n * z avec z^n = n+ibn et z = a+ib


     


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  2. sophie63

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    6

    Re : les nombres complexes terminale S

    j'ai oublier la suite :
    z^(n+1) = (an+ibn)*(a+ib)
    z^(n+1) = a(n+1) +ib(n+1)
    pr réccurence p(n) est vraie pour tot n.
    est ce que sa marce comme raisonnement. je ne vois pas trop à quoi correspondent les indices et si j'ai le droit de les manipuler ainsi..

    après j'ai une autre question : soit q un entier qui peut s'écre comme la somme de deux carrés d'entiers. déduisez en que c'est pareil pour q^n.
    Par contre là je ne sais pas comment faire.
    Est ce quelqu'un pourrait m'aider?
    merci d'avance
     

  3. sophie63

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    6

    Re : les nombres complexes terminale S

    aidez moi svp, je n'avance pas...
     

  4. sophie63

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    6

    Re : les nombres complexes terminale S

    quelqu'un doit bien avoir une petite idée non?
    ou au moins me dire si je suis dans la bonne voie ou pas.
    Pour la question 2 je ne vois pas par contre
     

  5. sophie63

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    6

    Re : les nombres complexes terminale S

    ce ne serait pas plutôt :
    z^(n+1) = (an+ibn)*(a+ib)
    = (a.an+ib.an+ia.bn-b.bn)
    = (a.an-b.bn) + (b.an+a.bn)i

    et dpnc a.an- b.bn (a(n+1)) est un entier et b.bn +a.bn (b(n+1)) est un entier aussi.

    vous en pensez quoi?
     


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  6. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 539

    Re : les nombres complexes terminale S

    Citation Envoyé par sophie63 Voir le message
    j'ai oublier la suite :
    z^(n+1) = (an+ibn)*(a+ib)
    z^(n+1) = a(n+1) +ib(n+1)
    pr réccurence p(n) est vraie pour tot n.
    est ce que sa marce comme raisonnement. je ne vois pas trop à quoi correspondent les indices et si j'ai le droit de les manipuler ainsi..

    après j'ai une autre question : soit q un entier qui peut s'écre comme la somme de deux carrés d'entiers. déduisez en que c'est pareil pour q^n.
    Par contre là je ne sais pas comment faire.
    Est ce quelqu'un pourrait m'aider?
    merci d'avance
    C'est juste ce truc, tu trouves une relation entre a(n+1) et a(n) et b(n), tu en conclus que a(n+1) et b(n+1) sont entiers. C'est bon.
    L'autre question est une application de la première.
    Si un nombre q s'écrit a²+b² alors ce nombre s'écrit |u|², carré de la norme du complexe u = a + i b
    Alors le nombre q^n est le carré de la norme du complexe u^n, soit |u^n|². C'est assez facile à voir.
    Et tu emploies le résultat de la première question.
     

  7. sophie63

    Date d'inscription
    mars 2008
    Messages
    6

    Re : les nombres complexes terminale S

    merci beaucoup de ton aide. Je vais pouvoir y arriver désormais.
    bonne soirée
     


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