Pourquoi moins fois moins égal plus ?

[ijnuhbygv]

Quand on regarde l'ensemble des entiers relatifs comme un ensemble symétrique, j'ai du mal à voir pourquoi les éléments à droite du zéro vont se comporter différemment des éléments qui leurs sont symétriques à gauche du zéro sous la multiplication.

petite correction

[ijnuhbygv]

Quelques temps après, je remonte voir si ça inspire quelqu'un

[jsboutin]

Prenons l'explication la plus simple:


Il faut que je fasse fois -1 à -1...je l'envoie donc de l'autre côté de zéro dans une ligne imaginaire contenant tous les nombres... Multiplier, c'est comme si je faisais une homothétie de rapport (a est ce par quoi on multiplie...) à ce nombre en prenant pour point 0 l'origine du plan cartésien...en supposant que tous les nombres soient placés sur l'axe des x...

ex:

L'exposant i signifiant image de...
P=(-3,0)





Coordonnées point image (produit): (6,0) donc la réponse est 6

En utilisant l'axe des x, on prend la valeur x du couple (x,y), avec l'axe des y, le y.

Je sens que la structure du texte précédent laisse à désirer, mais en relisant quelques fois, vous devriez comprendre...Dites-le si vous ne voyez pas, je sais que je ne suis pas très pédagogue.

[ijnuhbygv]

Merci pour la réponse.

Oui j'ai compris l'explication Ca revient à expliquer par les vecteurs, en considérant les nombres relatifs comme des grandeurs orientées. Multiplier par moins c'est retourner de 180°.

[CM63]

Il y a une explication extrêmement simple :
- si on admet que de changer le signe de l'un des facteurs change le signe du résultat,
- alors si on change le signe de l'autre (facteur) ça va rechanger le signe du résultat, donc ça va le remettre positif.

[jsboutin]

Il y a une explication extrêmement simple :
- si on admet que de changer le signe de l'un des facteurs change le signe du résultat,
- alors si on change le signe de l'autre (facteur) ça va rechanger le signe du résultat, donc ça va le remettre positif.

En fait, sa question est de savoir pourquoi ça change les signes, et ta réponse est que c'est: "Parce que ça change les signes"...

jsboutin

[CM63]

Non, je ne pense pas que sa question soit "pourquoi le signe change?". Je ne pense pas qu'il soit étonné que le résultat soit négatif si l'un des deux nombres est négatif. Il est seulement étonné du fait que le résultat est positif lorsque les deux nombres sont négatifs.

[Belibaste]

C'est simple
Explication plus cartésienne que mathématique.

on pose
(-a) X (+b) = -ab

(-a) X (-b) = + ab ---> Si le résultat avait été -ab
on l'égalité suivante

(-a) X (+b) = (-a) X (-b) ce qui n'est pas une égalité

Elémentaire mon cher watson

[hhh86]

(-a)(-b)=(-1)*(-1)ab
Raisonnons par l'absurde et supposons (-1)*(-1)≠1
-1≠0 donc on a (-1)≠1/(-1)
<==>-1≠-1
Ce qui est absurde
On a donc (-1)*(-1)=1
D'où (-a)(-b)=ab

[vincenteam2]

C'est simple
Explication plus cartésienne que mathématique.

on pose
(-a) X (+b) = -ab

(-a) X (-b) = + ab ---> Si le résultat avait été -ab
on l'égalité suivante

(-a) X (+b) = (-a) X (-b) ce qui n'est pas une égalité

Elémentaire mon cher watson

Bonjour,

Je ne suis ni mathématicien, ni historien des mathématiques mais je pense qu'il y a au moins 2 bonnes raisons qui expliquent que "moins par moins donne plus".
Dans les messages précédents, il y a plusieurs réponses qui ne font que reformuler "parce que moins par moins donne plus" sans apporter de réelle explication palpable.

Pour moi la raison numéro 1 à cette règle est que la multiplication n'a qu'un seul but, celui de rendre plus rapide et plus efficace le système des "additions-soustractions". En d'autres termes, les règles de multiplication ne sont qu'une retranscription abstraite mais diablement efficace des règles d'addition-soustraction.

Ainsi, 3x3 correspond à 0+3+3+3 soit +9.
De même, 3x(-3) vaut 0+(-3)+(-3)+(-3) ou 0-(+3)-(+3)-(+3) selon l'interprétation. Le résultat est dans tous les cas -9.
Dans la multiplication de base, il y a 2 termes. Le signe "-" devant un des termes indique que l'on va soustraire de zéro autant de fois qu'indiquer par le terme, la valeur de l'autre terme (cf exemple ci-dessus).

Dans ces conditions, que donne "-3x-5" ?
Soit on considère que l'on mulplie "-3 fois" la valeur "-5", autrement dit, que l'on soustrait 3 fois "-5" de zéro.

Cela donne 0-(-5)-(-5)-(-5)=+15.

Soit on considère que l'on mulplie "-5 fois" la valeur "-3", autrement dit, que l'on soustrait 5 fois "-3" de zéro.

Cela donne 0-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)=+15.

Une des conséquences de cette approche est que "moins par moins donne toujours plus".
J'espère que mon explication est claire et convaincante.

L'autre bonne raison (mais qui découle de la première) est celle donnée plus haut par "Belibaste"sous forme de démonstation par l'absurde. Si "moins par moins donnait moins, alors on aurai "axb = -(axb)" quelle que soit la valeur de axb, ce qui est inacceptable dans notre système mathématique".

[Theyggdrazil]

Les ami(e)s de mes amis sont mes ami(e)s.
Les ennemi(e)s de mes ami(e)s sont mes ennemi(e)s.
Les ami(e)s de mes ennemi(e)s sont mes ennemi(e)s.
Les ennemi(e)s de mes ennemi(e)s sont mes ennemi(e)s.

[pi-r2]

Moyen mnémotechnique mais hélas très faux en vrai

Les ami(e)s de mes amis sont mes ami(e)s.

Ben pas tous, franchement il y en a qui basculent facilement à ennemis...

Les ennemi(e)s de mes ennemi(e)s sont mes ennemi(e)s.

Là aussi, des fois laisser deux ennemis s'affaiblir l'un contre l'autre permet ensuite de se débarrasser des deux...

Conclusion: la géopolitique ou les relations humaines ne sont pas aussi limpides que l'arithmétique