Intersection entre un plan et une droite

[invite1286e9a0]

BOnjour, je sais qu'une droite peut être secante, parallèle ou confondu par rapport à un plan.

j'aurais juste voulu savoir comment differencier les trois possibilité : j'explique.

j'ai un plan pi tel que 3x+4y-6z=o avec les equation parametrique de d tel que

x=3+ lambda
y=4-lambda
z=3+lambda

pour trouver la valeur lambda on integre x, y,et z dans pi

et on trouve sa valeur. puis on le remplace dans les parametrique de d et on trouve le points d'intersection. Mais comment savoir a partir de ce point d'intersection si la droite et secante parallèle ou confondu.
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[Calvert]

Salut!

Comme toujours en géométrie, il y a sûrement plein de solutions. Une possibilité est de considérer le vecteur normal au plan (c'est instantané) et un vecteur directeur de la droite.

Un produit scalaire entre ces deux vecteurs permet de dire:

1. Que la droite est sécante au plan si le vecteur normal au plan et le vecteur directeur ne sont pas perpendiculaires;

2. Que la droite est parallèle ou confondue si ces deux mêmes vecteurs sont parallèles. Dans ce cas, soit il existe une solution à l'intersection et la droite est confondue au plan, soit il n'en existe pas, et la droite est parallèle.


EDIT: encore plus simple, en fait: ne considérer que les solutions pour lambda. Trois cas de figures:

1. Soit il n'y a aucune solution, auquel cas la droite est parallèle au plan;
2. Soit il y a une et une seule solution, et la droite est sécante;
3. Soit il y a une infinité de solutions, et la droite est confondue au plan.

[yat]

pour trouver la valeur lambda on integre x, y,et z dans pi et on trouve sa valeur. puis on le remplace dans les parametrique de d et on trouve le points d'intersection. Mais comment savoir a partir de ce point d'intersection si la droite et secante parallèle ou confondu.

En faisant ainsi, tu obtiens l'ensemble des valeurs de lambda correspondant aux points qui sont à la fois sur la droite et sur le plan. Si tu n'as trouvé qu'une valeur pour x, y et z, c'est qu'il n'y a qu'un point d'intersection.

Si tu ne vois pas ce que je veux dire, fais le test avec une droite comprise dans le plan et une droite parallèle (par exemple x=2l,y=3l,z=3l, et x=2l+1,y=3l,z=3l)

EDIT : croisement avec Calvert