Bonjour, J'ai quelque problèmes à traiter des exerices portant sur la résolution des équations complexes, notamment celui-là :
Je crois que je peux me débrouiller pour la totalité de l'exercice à part la question 1a), mais j'ai tappé tout dans le cas où j'aurais d'autres question sur le reste de l'exercice
Merci d'avance
Bonjour,
Pour la première question, il suffit de remplacerpar l'inverse du conjugué de
Je ne vois pas vraiment à quoi ça servirait de remplacer z par l'inverse de son conjugué parce que l'équation est toujours la, mais reste à vérifier si elle est vraie ou pas
Je ne comprends pas très bien ce que veut dire ton "l'équation est toujours la, mais reste à vérifier si elle est vraie ou pas"...Envoyé par Haexyrus
En tout cas, remplacer
La maladresse c'est d'appeler z deux choses différentes : la variable de l'équation et une solution de cette équation.
Disons que u est une solution de l'équation z^3 + m z² etc..=0
Alors u^3 + m u² etc... = 0
u ne peut être nul car 0 n'est pas solution
Je regarde si par hasard 1/u barre ne vérifierait pas l'équation z^3 + m z² etc..=0
et je trouve que oui en multipliant par u barre^3 des 2 côtés.
Soit, mais formellement, remplacer le "dessin"
Um, vi, j'ai été confu par la graphie des z, ça va maintenant...
Pour le reste des questions,
2a) Simple vérification, on remplace et on trouve
2b) On utilise les résultats trouvé dans 1°) : -m une solution donc l'inverse de son conjugué est une solution, puis la troisième est celle qui nous permet d'avoir 1 au produit des solutions (tout en utilisant les formes exponentielles)
2c) Un petit cas particulier où
Jusque-là ça va ?
Sinon, pour 1c), je ne trouve pas comment déduire que l'equation admet au moins une solution de module 1. J'ai essayé de poser v la 3ème solution, mais ça ne m'a inspiré que des raisonnements assez confus (surtout à propos de l'inverse de son conjugué)
Raisonne par l'absurde et dis que u0 est une solution de module différent de 1. Alors une autre solution sera 1/u0 barre dont le module sera différent de 1 aussi (facile à voir)/
Et la troisième solution u1 ? Tu dis que le produit de ces 3 solutions vaut 1 et tu vois assez bien que u1 est le quotient de 2 grandeurs conjuguées donc que le module de u1 vaut 1.
Oki, ça va, c'est résolu.
Merci pour l'aide, et au prochain exercice (dans pas longtemps surement)
Um, je viens de constater que j'ai une certaine erreur quelque part dans la dernière question, et en corrigeant, j'ai trouvé que les trois solutions de la dernière équation sont la même : En effet, puisque
Est ce que c'est normal ou je me gourre quelque part ?
Salut,
Je n'ai fait que lire ton dernier post. Ca me semble OK.
Ok, merci pour l'aide encore
Voici un autre exercice portant sur les équations complexes (je le mets ici pour ne pas créer plusieurs sujets pour la même chose) :
1) Les solutions sont en gros les racines cinquièmes de l'unité :
2) La j'obtiens
3) Je transforme un peu (E') en multipliant par (z-1) puisque 1 n'est pas une solution de (E') et j'obtiens l'équation (E), et c'est clair que les deux solutions de (E') sont les sommes des complexes inverses parmi les solutions de (E), mais je ne vois pas exactement comment faire la liaison d'une façon "plus mathèmatique". C'est la que j'ai besoin de votre aide.
4) Ca dépendra de la façon dont on répondra à 3 normalement
Merci d'avance
Effectivement ça va donner les racines cinquièmes de 1.
Je ne suis pas forcément d'accord avec tes valeurs de X et je te rappelle que ce n'est pas X que l'on cherche mais z, ce qui te relance 2 équations du second degré, soit 4 valeurs de z qui sont les 4 racines cherchées.
Dans ces 4, il faut trouver les correspondances evec les cosinus/sinus, assez simple si on calcule les valeurs numériques approximatives.
Um, je vois... En somme je dois résoudre les deux équations
Cependant, la résolution de ces deux-là n'est vraiment facile, déja à partir de la recherche du détérminant donc je me disais que, peut-être, il y avait une voie plus directe
Tes valeurs de X ne sont pas justes.
Bon, um, vi, voilà les valeurs correctes :
Les deux équations à résoudre sont donc :
mais, bon, d'ici, je bloque ... Comment continuer la résolution de
D'ici, comment continuer la résolution ?
(Désolé si je tarde à répondre, je ne suis pas souvent sur l'ordi ces derniers jours)
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Argh, je m'excuse, les équations que j'ai mis contiennent deux erreurs aussi...Voilà, tout est correct maintenant normalement :
Les deux équations obtenues sont :
En résolvant chacune de son coté, on résout
Ces complexes sont les solutions de
Passons à la question 3°) :
Le solutions de (E) sont donc celles de (E') en plus de {1}
Pour déduire
Si il y a une quelconque maladresse ou une possible amélioration, ça serait sympa de me l'indiquer.
Merci pour l'aide, et désolé pour mes maladresses ><
Plop.
Encore un exercice portant sur les équations complexes, avec un certain coté géométrique :
1) Le plan est rapporté à un repère orthonormè direct
a) Représenter dans
b) Montrer que si
2) On se propose de résoudre dans
a) Montrer que si
b) On pose
c) Construire dans
La première partie ne présente aucune difficulté, mais je bloque un peu à part de la question b) de la deuxième partie parce que je trouve les formes trigonomètriques demandées en c) avant qu'elles ne soient demandées. Voilà, et merci en avance.
Ps: Um, à propos de l'exercice précédent, j'aimerais bien, si possible, avoir une petite confirmation la dessus.
Pour l'exo d'avant, la méthode est juste. Pour vérifier que les calculs sont bons, pourquoi ne pas calculer une valeur numérique du cosinus et du sinus ?
Pour le second exo, un peu de géométrie pourrait aider. Si A est le point d'affixe z et B le point d'affixe 1, on voit que le rapport z/(z-1) a pour argument l'angle OAB donc que le cube a pour argument le triple de l'angle OAB.
Ca donne les valeurs possibles de l'angle OAB dont on déduit l'argument de z.
Je n'ai pas vraiment compris la mèthode que tu propose et j'aimerais bien quelques explications d'avantage, mais en même temps j'ai essayé ceci :
z est une solution de
D'ici, je ne sais pas s'il y a quelque à faire pour trouver ce qui est demandé.
Bon, um, j'ai associé ma mèthode à la tienne et j'ai trouvé :
Mais comment avoir les valeurs exactes ? Parce que on sait que M(z) est dans le demi plan vérifiant x>0, sur la médiatrice de [OB] (B(1)), mais comment utiliser cela pour avoir 3 valeur ? je pose une contrainte sur
Une faute de frappe dans l'expression de théta (ce n'est évidemment pas au cube mais x3, tu as d'ailleurs corrigé ensuite).
D'où ça vient que la partie réelle de z est positive ?
Bah, géométriquement parlant, le point
La médiatrice c'est une droite, pas une demi-droite, je ne comprends pas le raisonnement.
Bon, um, peut être que mon raisonnement est faux, mais je ne sais pas trop, ça me parait correct... Sur la pièce jointe, j'ai tracé la médiatrice sur laquelle se trouvent les points images des solutions de l'équation, et ils ont clairement la partie réelle réelle positive, non ? Ce n'est pas vraiment un raisonnement, mais une conjoncture. Je ne sais pas comment m'expliquer plus que ça :S
Ton raisonnement n'est pas faux, il est incomplet. Dire que M est sur la médiatrice de AB, c'est OK. Il manque le détail suivant : l'angle entre MA et MB est orienté. On tourne dans un sens précis pour aller de MB à MA, cet angle c'est l'argument du quotient z/(z-1). L'ensemble des points à partir desquels on voit AB sous un angle donné est un arc de cercle, tes solutions sont l'intersection de cet arc de cercle avec la médiatrice.
Donc la clé c'est que l'on raisonne sur des angles de vecteurs à 2 pi près et pas sur des angles de droites à pi près. Il y a 3 solutions à 2 pi près.
Je ne comprends toujours pas pourquoi il serait incomplet parce que si je m'interesse à l'angle
Mettant ça à part, si je raisonne sur l'angle
Mais d'ici, je ne vois pas comment passer à \theta donc je me retrouve obligé de retourne à l'avant-dernière expression et de l'utiliser pour aboutir à une valeur de
Si j'ai mal compris le raisonnement que tu propose, je voudrais bien savoir où est ce que je me plante exactement
Pas de problème, tout ça est correct, simplement je voulais dire que ça ne saute pas aux yeux que la partie réelle de z est positive, ça résulte de la valeur de z qu'il faut calculer exactement comme tu fais.
