Le théorème des valeur intermédiaire

[Uchiwa]

Bonsoir à tous , je bloque sur une question ,je ne sais pas comment my prendre pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Soit g la fonction définie sur |R par g(x) = 2x^3 +6x²+7x+1

question : En déduire, d'après g'(x), que g admet une unique solution alpha appartenant à |R g(alpha)= 0

Ce qui me gène ici c'est alpha, ne connaissant pas le nombre, je ne sais pas comment raisonner. Merci pour votre aide

[chico95]

Alors en faite, tu calcu la dérivée...ensuite tu fais un tableau de variation avec le discriminant que tu aura trouvé !

avec les variations que tu auras ( donc un tableau de variations complet avec les limites ) tu verras que dans les variations, x sera égale a 0

Puisque la fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle que tu auras trouvé, d'après le th"orème des valeurs intermediaires, il existe un unique réel alpha tel que g(alpha)=0

Si tu as pas compris je vais tout t'expliquer en detail !

[Uchiwa]

Non Chico95, j'ai bien compris en faite c'est la même démarche que si le alpha était connu, mais le seul hic est que le discriminant est négatif donc pas de tableau de signes, j'ai pensé à utiliser la dérivée seconde, mais est ce réellement nécessaire?

[chico95]

Ah oui, j'avais pas vu que le discriminant etait negatif...

Es-tu sur dans l'enoncé !? tu as peut etre fais une faute car ça me semble etrange...
Je ne pense pas que la dérivée seconde soit utile ici...je suis désolé, la je n'ai plus d'idée !

[Uchiwa]

Malheureusement, je suis formel, l'énoncé ne comporte aucune erreur,je te remercie de ton aide, si tu as une autre idée, n'hésite pas même si tu en as déjà fait beaucoup merci bien

[chico95]

En faite je pense que c'est sa, mais je suis pas sur a 100% !

Le discriminant étant negatif, f a le signe de a partout sur R
Donc c'est croissant !!

Et puis voila, c'est tout simple !

[Uchiwa]

Hmm je sais pas je viens de me renseigner, un professeur de math me dit qu'il faut d'abord démontrer que g'(x) >0 pour tout x appartenant à
puis comme c'est un polynôme , il est continu et comme il est croissant avec ça nous devons prouver que lim quand x tend vers - l'infini ou + l'infini g(x) = - l'infini ou l'infini (respectivement)

[chico95]

pour prouver que g '(x)>0 tu dis qu'il a le signe de 6x sur R, donc il est positif !

Tu calcules la limite en +oo et -oo et tu dis qu'il existe un réel tela que g(x)=0 dans l'intervalle des limites que tu as calculé !

[Uchiwa]

pour prouver que g '(x)>0 tu dis qu'il a le signe de 6x sur R, donc il est positif !


elle vient d'ou cette propriété? elle est valable que pour le calcul de la limité non? le théorème des polynomes or là on chercher la valeur quand c'est >0 je me trompe?

[chico95]

la fonction étant definie sur R, on ne cherche pas g'(x)>o, on l'affirme !

je confirme la règle que je t'ai dis : http://homeomath.imingo.net/signe2d.htm

Signe de a si le discriminant negatif !

[Von_Der_Barbecue]

si la dérivée est négative sur IR cela signifie que ta fonction est strictement décroissante sur IR.

Hors la limite en - l'infini est égale à - l'infini. ( < 0 )
Et la limite en + l'infini est égale à + l'infini. ( > 0 )

Fais un dessin si tu n'arrives toujours pas à comprendre quoi en déduire..

nb tu n'as pas a trouvé la valeur de alpha, juste à prouver son existence.

[Von_Der_Barbecue]

excuse moi je voulais dire dérivée positive donc fonction strictement croissante sur IR.

[chico95]

Donc après avoir faiis le tableau de variation...

La fonction g est continue et strictement croissante sur IR, l'image de cet intervalle est ]-oo;+oo[, et 0 appartient à cet intervalle, donc il existe un unique réel tel que g(x)=0

[Uchiwa]

d'accord merci beaucoup, j'ai tout compris, je vous remercie pour votre aide