DM aire et volume

[sendy76]

Bonjour jaimerais pouvoir avoir de l'aide pour se DM car je ne comprend pas grand chose.

Voici lénoncé:

OABC est un tétraédre dont les faces OAB,OAC et OBC sont trois triangles rectangles isocèles en O.
On pose OA=OB=OC=a
On appelle I le milieu de [AB] et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle COI.

1)a. Déterminer la nature du triangle ABC. (équilatérale )
b. Calculer son air s en fonction de a

2) Montrer que la droite (AB) est orthogonal à la droite (OH)

3)En déduire que (OH) est orthogonale au plan (ABC)

4 ) Montrer que H est l'orthocentre du triangle ABC

5) On rapelle que le volume d un tétraédre est donné par V=1/3B*h, ou B est l'aire d'une base et H la auteur correspondante. En exprimant le volume V du tétraédre OABC, calculer OH en fonction de a.

Remarque: Cette distance est appelée la distance O au plan (ABC)


pour la 1.b ( V = racine carré de )

j'ai trouvé une air de (a²V6)/2 en faisant AB x CI /2 avec AB = aV2 et CI = a V(6/2)

Et je n'arrive pas à faire la 5 , trouver le volume et calculer OH
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[invite64fb163d]

Déjà pour l'aire de ABC, ce n'est pas bon:
CI²=CB²-IB² (Pythagorre)
CI²=((a√2)²-(1/2*a*√2)²
CI²=2a²-2a²/4
CI²=6/4*a²
d'où CI=a/2*√6

Maintenant en faisant AB*CI/2 tu as:
S=(a√2)*(a/4*√6)
S=(a²√3)/2

2) On sait que OB=OA et que HB=HA, donc (OH) perpendiculaire à (AB)

3) (OH) perpendiculaire à (AB) et à (IC) avec I appartenant à (ABC)
Donc (OH) perpendiculaire à (ABC)

4) On sait que (OH) perpendiculaire à (ABC)
donc H équidistant de A, B, C on peut donc dire que H est le centre du cercle inscrit dans ABC. Or dans un triangle equilateral, le cercle du centre inscrit est aussi l'orthocentre.
Donc H est l'orthocentre de ABC.

5) V=1/3 *S*OH
V=1/3*(a²*√3)/2*OH

Mince j'ai pas le temps de finir désolé mais tu as la bonne réponse en suivant ce lien
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-137827.html

[tuan]

...
5) On rapelle que le volume d un tétraédre est donné par V=1/3B*h,
...

Salut,
"B" est l'aire du triangle OAB = a²/2
"h" est OC = a
...
PS: Ne pas laisser la peur dominer. Voir des choses simplement.

[tuan]

...
2) On sait que OB=OA et que HB=HA, donc (OH) perpendiculaire à (AB)
...

Non, raisonnement erronné.
Rappel 1:
Si une droite est orthogonale à 2 droites sécantes, elle est perpendiculaire au plan défini par ces dernières.
Rappel 2:
Si une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toute droite du plan.

2) I étant milieu de (AB), côté des 2 triangles l'un isocèle l'autre équilatéral, donc (OI) et (CI) perpend. à (AB). (AB) est donc perp au plan (COI) (rappel 1).
Comme conséquence, (AB) est orthogonale à (OH) (rappel 2).
3) On vient de dire que (OH) est orthog. à (AB), d'autre part (OH) est perp. à (CI) (par construction). (OH) est donc perp. au plan (ABC)

[A voir en vidéo sur Futura]