Démonter que racine carrée de 5 est un nombre irrationnel

teamblast · 02/02/2009 - 18h20

Bonjour, je suis en terminale S, et pourtant, une troisème m'a posé une colle en maths

Elle m'a demandé de prouver que 5 est un nombre irrationnel. De le faire, par une démonstration.
Et j'en suis incapable

Auriez vous une idée?
Je sais ce qu'est une racine, et je sais ce qu'est un nombre irratitonnel.
Donc voilà, merci de votre aide ^^

fderwelt · 02/02/2009 - 18h30

Bonjour,

Le truc est classique : si p est un nombre premier, sqrt(p) est irrationnel.

En effet si on avait sqrt(p) = m/n avec m et n entiers naturels, on aurait p = m²/n² et donc m² = p.n². Dans la décomposition en facteurs premiers, m² a un nombre pair de facteurs, et p.n² un nombre impair. Donc ça ne se peut pas...

-- françois

teamblast · 02/02/2009 - 18h32

Envoyé par fderwelt

Bonjour,

Le truc est classique : si p est un nombre premier, sqrt(p) est irrationnel.

Sorry, bien qu'étant en term S, bah.. Euh.. C'est quoi sqrt?

cypher_2 · 02/02/2009 - 18h35

sqrt --> racine carrée

teamblast · 02/02/2009 - 18h42

J'ai pas forcémen saisi ce que fderwelt a dit....

God's Breath · 02/02/2009 - 18h48

Envoyé par teamblast

J'ai pas forcémen saisi ce que fderwelt a dit....

Je traduis :
Si $\sqrt 5$ était rationnel, il existerait deux entiers $m$ et $n$ tels que $\sqrt{5} = \frac mn$ , donc $5n^2 = m^2$ .

On considère la décomposition en facteurs premiers de $n^2$ et $m^2$ : le nombre premier $5$ apparaît avec un exposant pair.

Donc $5$ apparaît avec un exposant impair dans la décomposition de $5n^2$ et un exposant pair dans celle de $m^2$ : l'égalité $5n^2 = m^2$ est impossible, et $\sqrt 5$ est irrationnel.

Le raisonnement fonctionne toujours si l'on remplace $5$ par un nombre premier $p$ quelconque.

invité576543 · 02/02/2009 - 18h52

Pas exactement ce que François a écrit, il a pris le nombre total de facteurs premiers, pas seulement 5 (ou p). Brutal, mais efficace.

Cordialement,

fderwelt · 02/02/2009 - 19h08

Envoyé par Michel (mmy)

Brutal, mais efficace.

Bin oui, quoi, pourquoi faire dans la dentelle quand on peut y aller au Kärcher ?

-- françois

teamblast · 02/02/2009 - 19h20

Parce que Y'a un idiot qui y comprends rien et faut y aller molo avec lui.
Nan je rigole j'ai compris.
Merci beaucoup. Je passerai moins pour un con grâce à vous

tafpro · 09/10/2011 - 15h46

Bonjour, merci pour votre explication j'ai compris sauf cette partie la
"On considère la décomposition en facteurs premiers de et :5 le nombre premier apparaît avec un exposant pair." je comprends pas pouvez vous m'expliquez svp?

ansset · 09/10/2011 - 16h39

c'est pire que ça.
une racine carrée est soit entière, soit irrationnelle !
ça se demontre !

tafpro · 09/10/2011 - 19h41

serait-il possible de le demontrer par l’absurde? la j'essaie mais je bloc apres avoir eu 5q²=p² je sais plus quoi faire

photon57 · 09/10/2011 - 19h54

Envoyé par tafpro

serait-il possible de le demontrer par l’absurde? la j'essaie mais je bloc apres avoir eu 5q²=p² je sais plus quoi faire

Oui, supposons que $\sqrt{5}$ soit rationnel. Il existe donc deux entiers non nuls p et q avec pgcd(p,q)=1 tels que
$\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ donc
5q²=p²
5 divise donc p², donc 5 divise p. Il existe donc un entier non nul p' tel que p=5p'. Soit
5q²=(5p')²
5q²=25p'²
q²=5p'²
soit 5 divise q, or 5 divise aussi p ce qui est contradictoire avec l'hypothèse pgcd(p,q)=1.