Bonjour a tous
Alors voila je bloque complétement sur cet exercice, si quelqu'un pouvait m'indiquer la voie a suivre ca serait sympa
C est un cercle de centre O et de rayon R. M est un point du plan. Une droite (d) passant par M coupe C en deux points A et B
1. Montrer que MA.MB (ce sont des vecteurs et le . un scalaire) = OM² - R². Pour cela , on pourra considérer le point B' diametralement opposé a B sur le cercle C.
J'en met pas plus vu que je bloque deja sur le 1. ^^
A bientot
Salut,
J'ai trouvé une méthode, elle est faite d'opérations basiques et d'un zeste de trigo mais elle est longue (je dirais une vingtaine de lignes)
Donc euh si ça t'intéresse, si ça peut t'aider pour trouver des pistes, dis-le moi et je le scannerai. Mais je suis très confiante quant au fait qu'il y ait une méthode plus simple
Sinon, je postais pour te demander le contenu grossier des questions suivantes (ça peut toujours servir ^^ et me donner une idée du genre de trucs qu'on te demande)
Bonsoir MiMoiMolette
Le reste de l'exercice :
2. Etudier le signe de MA.MB suivant la position de M par rapport a C
3. C' est un cercle de rayon R' et de centre O' distinct de O
a) Déterminer l'ensemble des points du plan ayant la meme puissance par rapport a C et a C'
b) Tracer cet ensemble de points lorsque C et C'
Je penses avoir trouvé qqchose :
MB.MB' = (MO+OB).(MO+OB')
= MO² + MO.OB' + MO.OB + OB'.OB
= MO² + MO.(OB'+ OB) + OB'.OB
= MO²+ OBx (-OB') (BB' est le diametre dc OB, OB' st opposés)
= MO² - R²
Et vu que MO² ( vecteur ) = MO² ( longueur) J'hésite mais peut on écrire OM² - R² a la derniere ligne? Et est-ce juste?^^
Sinon j'ai avancé pour le 2. j'ai mis que le produit scalaire MA.MB est positif quand M est a l'exterieur du cercle est négatif quand il est placé a l'intérieur.
A bientot
Oui, c'est juste de dire que MO²=OM², pas de souci à se faire de ce côté-là.Envoyé par MangeDuPwasson
Par contre, je ne comprends pas... ton énoncé faisait part de MA.MB et non MB.MB' ?
Ah oui, mais c'est facile de montrer que MB.MB'=MB.MA, puisque AB' est perpendiculaire à MA
Bravo ^^
Dans l'énoncé on me disait de faire intervenir B' pour m'aider donc j'ai transformer MA.MB = (MB'+ B'A). MB
= MB.MB' + MB. B'A = MB.MB'
( MB.B'A = 0 vu que B'A est normal au vecteur MB)
Mais sinon jvois pas pourquoi tu as voulu enlever le ' au -OB' parce que c'est un produit scalaire, et vu que les deux sont colinéaires mais de sens contraire on fait la longueur de l'un fois la longueur inverse de l'autre. Y m'semble que c'est comme sa
Waoh pas facile tes exercices, bien joué
Le truc c'est que jpenses que le plus dur reste le 3. J'essaie de chercher mais jvois pas
Bah moi je ne comprend même pas la question, on a jamais vu les puissances de points par rapport à des cercles donc bon ...
Nous non plus. Notre prof nous donne ca en DM alors qu'on a que le cours sur les produits scalaires^^. Ca doit etre un avant gout...
En attendant si MiMoi repasse par la et que tu as des idées pour le 3. je t'écoute =)
Ah, le x signifiait multiplication entre longueurs >< avais pas vu
Décidément, c'est pas mon topic favori ça.. lol
^^ Je commence a recopier au propre les 1. et 2. , le 3 je vois pas du tout >_<
Définition de la puissance d'un point (2.) : http://www.aromath.net/Page.php?IDP=504&IDD=0
Donc dans le 3. , on me demande des chercher l'ensemble de définitions pour que MA.MB = la meme puissance par rapport au cercle C que le cercle C' ?
Jcomprends pas trop :/
Voila ce que j'ai trouvé pour le 3. mais jsuis pas sur que ca réponde a la question, et surtout comment le tracer :/ :
L'ensemble des points M ayant même puissance par rapport à C et C' vérifie l'équation :
OM²-O'M²= R²-R'²
... mauvaise suggestion !Bonjour a tous
Alors voila je bloque complétement sur cet exercice, si quelqu'un pouvait m'indiquer la voie a suivre ca serait sympa
C est un cercle de centre O et de rayon R. M est un point du plan. Une droite (d) passant par M coupe C en deux points A et B
1. Montrer que MA.MB (ce sont des vecteurs et le . un scalaire) = OM² - R². Pour cela , on pourra considérer le point B' diametralement opposé a B sur le cercle C.
J'en met pas plus vu que je bloque deja sur le 1. ^^
A bientot
Salut
- joindre M à O
- placer I milieu de AB : OI est médiatrice de AB
MA.MB = (MI-IA).(MI+IB) = MI2 - IA2 (identité remarquable)
avec
MI2 = MO2 -OI2 (Pythagore)
et
IA2 = OA2 -OI2 (Pythagore)
D'où
MA.MB = MO2 -R2
Bonjour tuan,
ce que j'ai fait au dessus est donc faux? Parce qu'il est clair que l'exercice demande de s'aider du point B' diametralement opposé a B.
Ma démarche :
MA.MB = (MB'+ B'A). MB
= MB.MB' + MB. B'A
= MB.MB'
= (MO+OB).(MO+OB')
= MO² + MO.OB' + MO.OB + OB'.OB
= MO² + MO.(OB'+ OB) + OB'.OB
= MO²+ OB x (-OB') (BB' est le diametre dc OB, OB' st opposés)
= MO² - R²
La puissance de M par rapport au cercle (C) est ce que vous venez de calculer, MA.MB.Bah moi je ne comprend même pas la question, on a jamais vu les puissances de points par rapport à des cercles donc bon ...
Vous avez aussi démontré que cette puissance ne dépendait pas de la droite sécante (MAB) choisie au départ, car elle valait : OM2-R2
Pour le lieu... Si la puissance de M est la même par rapport aux 2 cercles (C) et (C') on aura MO2 -R2 = MO'2 -R'2 (j'écris MO et pas OM...)
Ou
MO2-MO'2 = une consatante : le lieu est donc une perpendiculaire à OO' que vous aviez reconnue certainement dans un des premiers exercices de la géométrie
non, je n'ai pas dit que c'était faux. Une mauvaise suggestion conduit à un long calcul inutile.
Mon calcul ne demande pas de connaître le produit scalaire. Les identités remarquables et Pythagore suffisent...
Merci jcommence a voir mais jcomprends pas l'histoire de constante, dans les questions précédentes il n'y a pas de perpendiculaire a OO'La puissance de M par rapport au cercle (C) est ce que vous venez de calculer, MA.MB.
Vous avez aussi démontré que cette puissance ne dépendait pas de la droite sécante (MAB) choisie au départ, car elle valait : OM2-R2
Pour le lieu... Si la puissance de M est la même par rapport aux 2 cercles (C) et (C') on aura MO2 -R2 = MO'2 -R'2 (j'écris MO et pas OM...) compris
Ou
MO2-MO'2 = une consatante : le lieu est donc une perpendiculaire à OO' que vous aviez reconnue certainement dans un des premiers exercices de la géométrie pas compris
EDIT : Ok merci pour au dessus
O et O' étant 2 points (fixes) donnés. Quel est le lieu de tout point M tel que MO2 - MO'2 = une constante ? (R2-R'2 = une constante)
De M on mène la perpendiculaire MN à OO'...
On place P milieu de OO'...
MO2 = MN2 +ON2 (Pythagore)
avec ON2 = (OP+PN)2
Je te laisse calculer MO'2... et la suite facile.
Il faut démontrer que le point N est unique quel que soit le point M sur son lieu.
A+
Jcomprends pas pourquoi il faut utiliser Pythagore la... On cherche a trouver quoi? OM²-O'M² ?
évidemment... en partant de OM²-O'M² on doit prouver que N (projeté de M sur OO') soit UNIQUE, d'où le lieu de M est la perpendiculaire à OO' menée de N
(N'as-tu jamais vu cet exercice auparavant ? ... une lacune de l'enseignement ?
Nan je suis en cours pas de problemes, mais en effet c'est le premier exercice qui traite de la puissance d'un point et notre prof nous le donne en DM...
Donc en fait l'ensemble de points qui vérifie OM²-O'M² = R²-R'² c'est la droite (MN) perpendiculaire a OO' ?
Je trouve ca en suivant ta méthode tuan
OM²-O'M² = (MN²+ON²) - (MN²+O'N²)
= (MN² +(OP+PN)²) - (MN² +(O'P+PN)²)
= (OP+PN)²- (O'P+PN)²
= OP² -O'P²
= 0
Jsais pas si j'ai bien réussi et ce qu'il faut en déduire mais bon
non, un signe "moins" pour l'un et un "plus" pour l'autreJe trouve ca en suivant ta méthode tuan
OM²-O'M² = (MN²+ON²) - (MN²+O'N²)
= (MN² +(OP+PN)²) - (MN² +(O'P+PN)²)
= (OP+PN)²- (O'P+PN)²
= OP² -O'P²
= 0
Jsais pas si j'ai bien réussi et ce qu'il faut en déduire mais bon
As-tu fait un dessin ?
L'expression de départ (différence des carrés) n'est pas une expression vectorielle !
La droite recherchée s'appelle "l'axe radical des deux cercles (C) et (C')"
J'ai fait un dessin mais je ne vois plus du tout la... j'ai vraiment du mal. J'ai essayé de regarder mais l'ensemble de définitions n'est il pas la droite (MN) perpendiculaire a (OO') avec N projeté orthogonal de M sur (OO') ?
Je n'avais pas dit la même chose ?
Désolé je n'ai pas vu alors^^. Mais c'est bien ca?
Merci en tout cas
