Exercice maths

[invite992a971f]

Bonsoir,
On considère la suite (u_n) définie pour n appartient à N par u₀=4 et u_n+1 = racine de (4 u_n+3).

1) Démontrer par récurrence que (u_n) est croissante.
2) Que se passe t-il si cette fois on prend u₀=5? Justifier la réponse.

Voila merci .
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[cleanmen]

Peux-tu préciser où tu bloques dans les questions?

[invite992a971f]

Déja comment démontrer par récurrence qu'une suite est croissante?

[cleanmen]

A c'est pas faux ca... faut dire que c'est tordu de faire une récurrence pour l'étude d'une suite de la forme u_n+1=f(u_n)...

Instinctivement, je pense qu'il faut supposer u_n+1>u_n et montrer que u_n+2>u_n+1. Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite992a971f]

comment démontrer par récurrence qu'une suite est croisante? je voudrais qu'on m'aide sur cet exo. merci

[invite4ef352d8]

Salut !

il y a pas des choses dans ton cours sur l'étude des suites de la forme Un+1=f(Un) ? avec par exemple une methode assez systématiques pour les étudier ? (commencer par étudier la fonction f, cherchez ses points fixe ... )

enfin dans tous les cas dans cette méthodes la monotonie de Un tombe de facon immédiate quand f est croissante (ce qui est le cas ici) :

si on a U(n+1)>=U(n) alors f(Un+1) >= f(Un) ie U(n+2)>=U(n+1) y à plus qu'a faire une récurence la dessus, et voir comment est situé U1 par rapport à U0 (c'est ce qui détermine si la suite est croissante ou décroissante...)

[invite992a971f]

merci de me répondre. non, nous ne l'avons pas vu en cours, mais ya un ptit truc que j'ai pas compris. pourquoi tu fais:
U(n+2)>=U(n+1). pourqui u(n+2)? nous n'avons pas vu du tout ce type d'exercice ni comment démontrer par récurrence qu'une suite est croissante.

[cleanmen]

f est croissante, tu peux l'appliquer la fonction à inégalité et le signe de celle ci reste le même.

[invite992a971f]

je vois pas trop...

[cleanmen]

en fait le signe de u_n+1-u_n dépend du signe de u1-u0 car:
supposons u1>u0
il vient appliquant f (croissante dans ton cas): f(u1)>f(u0) soit u2>u1 et ainsi de "suite".

[invite992a971f]

donc je calcule u1 et u2.

u1= racine(4*4+3) = racine de 19: on ne peut pas simplifier
u2= racine(4*racine(19)+3) ça fait des résultats bizards ...

[cleanmen]

en généralisant le signe de u_n+1-u_n est le même que le signe de u1-u0. (application successive de f croissante)

u1-u0=sqrt(19)-4>0 donc u_n+1-u_n>0 dc (u) croissante.

[invite992a971f]

que signifie sqrt? et comme se fait il que j'obtient racine de 19 et que u2 ne soit pas un chiffre rond?

[cleanmen]

sqrt= racine carrée

Une suite est définie de N dans R en général, d'où des chiffres pas rond.

[invite992a971f]

d'accord tu es sur de la réponse?

et pour la 2)?

[cleanmen]

Pour la question 2,
quel est le signe de u1-u0?
Qu'en déduire sur celui de u_n+1-u_n?

[invite992a971f]

je ne sais pas comment trouver le signe.

[cleanmen]

avec u0=5
u1-u0=?

donc u1>u0 ou u1<u0?

après tu appliques f fonction croissante à l'inégalité, avec f(u1)=u2 et f(u0)=u1
si tu appliques n fois la fonction f à l'inégalité, qu'est-ce qui apparaît?

[invite992a971f]

u1-u0= racine (19 )- 4 aprés j ai pas bien compris comment appliquer la fonction croissante à l'inégalité.

[cleanmen]

Attention on est dans la question 2 la.
Donc u0=5

u1-u0=sqrt(4*5+3)-5=sqrt(23)-5<0
donc tu peux écrire u1<u0

f: x->sqrt(4x+3)
comme f est croissante f(u1)<f(u0)
or f(u1)=u2 et f(u0)=u1: c'est comme cela que ta suie est définie.
donc u2<u1
de meme f(u2)<f(u1) car f croissante
donc u3<u2
de meme f(u3)<f(u2)
donc u4<u3
.
.
.
.
f(u_{n})<f(u_{n-1})
donc u_{n+1}<u_n

[invite992a971f]

donc je mets ça dans ma réponse?

[invite992a971f]

en tout cas merci de m'aider.