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Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

  1. bourbaki

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    septembre 2007
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    147

    Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    En question bonus à un DM, une elève en quatrième a ce problème:
    Déterminer le chiffre des unités de 2008^2008

    le prof (apparement) affirme que la réponse est 4.
    Soit, qui saura me dire où est-ce que je me trompe ?

    En vous remerciant d'avance, voici mon raisonnement ...

    Effectuons la division euclidienne de 2008 par 10:
    2008=200*10+8
    En d'autres termes (plus clair pour moi): 2008 congru 8 modulo 10

    Soit n un entier naturel.
    Alors, 2008n congru 8n modulo 10
    Plus clairement (pour un élève de quatrième par exemple), le chiffre des unités de 2008n est le même que celui de 8n

    Interressons nous au chiffre des unités de 8n alors !
    81 a pour dernier chiffre 8
    82 a pour dernier chiffre 4
    83 a pour dernier chiffre 2
    84 a pour dernier chiffre 6
    85 a pour dernier chiffre 8 etc.
    on remarque que ça se répète (pas tres rigoureux mais on est en 4eme...)
    On généralise le résultat comme celà:
    toujours avec notre "n" de départ. il existe k un entier positif ou nul tel que, soit n=4k,soit n=4k+1, soit n=4k+2, ou soit n=4k+3. On a le résultat suivant:
    84k+1 a pour chiffre des unités un 8
    84k+2 a pour chiffre des unités un 4
    84k+3 a pour chiffre des unités un 2
    84k a pour chiffre des unités un 6

    Revenons à l'exercice ... Ici, n=2008.

    20082008 a donc le même chiffre des unités que 82008. Puisque 2008=4*502, il s'en suit que 20082008 a pour chiffre des unités un 6. (prendre k=502 ...)


     


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  2. Gwyddon

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    octobre 2004
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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Hello bourbaki,

    Tu ne te trompes pas, c'est le prof qui s'est planté sur ce coup

    D'une part je confirme ton raisonnement (enfin bref pour moi il n'y a aucune faille, un petit manque de rigueur peut-être mais sinon ça va), d'autre part voici l'écriture décimale de 20082008 :

    890279993068558838325753121884 574280194168301865659943358192 453329739430556036879712148242 269609693178976315644721029119 830978180772252578288408638261 143613866238054336851717582983 467889102717760779010016482945 521833212251364261128884807223 570219566431433855585701168842 100305403197153612993786693731 397827769668831587788394610896 078384690556138778144748809736 835847165102509231610125000000 509600066165196902819270010402 393637549259647520238368962001 102965210983546926437556530698 840893954747355598312300529935 318916745480126756834310927833 772466944366005670817156660912 978199750660403674447366017413 413712713605929601535776497501 282427041860350583713071882801 228145510550442784573105148274 975077813305227117605952127279 893766579712670128639122168545 723637998140599626268651468373 616710686948588646166371273924 948777893318245415151477991926 700225431121421147369042886045 673333069194100467357928101556 247900613197254727005136031441 146300229560849998601956383588 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    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     

  3. mx6

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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Je suis d'accord avec toi, c'est bien 6 !
    J'ai fait la périodicité, nous trouvons une période de 4 avec 8,4;2,6 .
    Pour 2008, deja on annule le 2, car 2008 n'est pas divisible par 3 .
    Pour le 8, il va tombé dans les multiples de 5, donc on l'annule.
    Le problème réside dans le 4 ou 6, car 2008 divisible par 2 et 4 . Et la avec une petite reflexion,je me suis dis à 2000, nous serons à la quatrieme unité de la periode, donc 2008 aura 6 comme chiffre d'unité !
     

  4. mx6

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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Désolé pour le double post, Gwyddon, comment t'as fait pour avoir les écritures décimales, et une autre question de curiosité , que veut dire ta signature
     

  5. Gwyddon

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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Désolé pour le double post, Gwyddon, comment t'as fait pour avoir les écritures décimales, et une autre question de curiosité , que veut dire ta signature
    Hello,

    Je suis trop fort, j'ai calculé de tête

    J'ai utilisé Maple 11, tout simplement

    Sinon pour ma signature, il ya des éléments de réponses disponibles dans le fil parlant des signatures justement, un indice : c'est du quenya
    gg --> H --> gamma gamma => Nobel !
     


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  6. maher33

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    Thumbs up Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Bein Ok je Commance attention

    déja je dit moi que le chifre 8 est un chifre trés étrange et je vais vous le montré par des petit preuve sans vous raconter l'histoire de ma vie avec le 8.
    bon tout simplement je dit que le 8 est le commancement de la fin .(tout simplement) et il est étroitement lier au 9 conte a lui il est le chifre de la fin.

    tien par ex
    8*1=================8
    8*2=16---1+6=========7
    8*3=24---2+4=========6
    8*4=32---3+2=========5
    8*5=40---4+0=========4
    8*6=48---4+8=12---1+2=3
    8*7=56---5+6=11---1+1=2
    8*8=64---6+4=10---1+0=1
    jusque la tout va bien mé quand le 9 entre regardé bien
    8*9=72---7+2=========9

    la diminution du chifre 8 quand il é multiplier et flagrante jusqua la multiplication par le 9 , qui devien 9
    tout simplement je vais vous éxpliqué le 9

    ex:
    9*1=9
    9*2=18 1+8=9
    9*3=27 2+7=9
    9*4=36 3+6=9
    ......................
    ................
    ........
    jusqua 9*9=81 est 8+1= quoi = 9 bien sur
    alors quesque vous en pencé , moi je dit que le 8 provoque le 9 ces pas comme les autre num le 2 ne provoque pas le 3 ou le 3 ne provoque pas le 4....ect

    noublier jammé diminution du 8 jusqu'a attendre le sommé ces a dire le 9. et le 9 se stabilisera.
    ces a dire votre situation peut importe la qu'elle en 2008 se diminura jusqu'a attendre brusquement un somé , qui restra en 2009 ( non je dit nimporte quoi la )lol jattend vos msg
     

  7. Médiat

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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Citation Envoyé par maher33 Voir le message
    jattend vos msg
    Tu viens de découvrir que 8 est congru à -1 modulo 9
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  8. thehoops

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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    c'est pas des math c'est la numérologie pour moi ...
    "Les mathématiques sont la poésie de la science"
     

  9. Duke Alchemist

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    Re : déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Bonjour.
    Citation Envoyé par maher33 Voir le message
    ...
    tout simplement je vais vous éxpliqué le 9

    ex:
    9*1=9
    9*2=18 1+8=9
    9*3=27 2+7=9
    9*4=36 3+6=9
    ......................
    ................
    ........
    jusqua 9*9=81 est 8+1= quoi = 9 bien sur...
    Ce qui est bien (pour toi) avec le 9, c'est que tu peux continuer, ça reste valable.
    A quoi reconnait-on un nombre multiple de 9 ? Tu ne devineras jamais

     Cliquez pour afficher

    Duke.

    PS : comme thehoops, je pense que c'est de la numérologie... maintenant, tu peux en faire ton dada ()... mais n'hésite à faire un peu de français aussi
     

  10. selim1994

    Date d'inscription
    septembre 2008
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    2

    Re : Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    salut jai presque le meme probleme sauf que moi c'est 2007^2007 pourier vous maider jai essayer et sa ma donner entre 9 et 3
     

  11. nassiriya

    Date d'inscription
    novembre 2008
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    1

    Re : Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    j'ai un problème à résoudre
    sébastien affirme que le dernier chiffre de 3^27 est un 4
    leila lui soutient qu'il se trompe
    qui a raison?
    merci
     

  12. VegeTal

    Date d'inscription
    juin 2008
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    Haute-Savoie
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    Re : Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Bonsoir,

    pour savoir quel est le chiffre des unité d'un nombre on cherche à déterminer tel que :

    .

    Dans ton exemple quel est le reste de par 10 ?
    Piste à suivre : commencez par étudier quelques restes des différentes puissances de 3.





    [...]

    jusqu'à trouver une valeur intéressante : en général un 1 ou -1 .
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...
     

  13. Flyingsquirrel

    Date d'inscription
    octobre 2004
    Messages
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    Re : Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Citation Envoyé par nassiriya Voir le message
    sébastien affirme que le dernier chiffre de 3^27 est un 4
    leila lui soutient qu'il se trompe
    est-il un nombre pair ou impair ? Par conséquent, peut-il admettre 4 comme chiffre des unités ?
     

  14. dadoudu68240

    Date d'inscription
    septembre 2009
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    1

    Re : Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

    Salut tout le monde !

    J'ai un exo de math, je dois trouver le chiffre des unités de 47^47 !

    Quelqu'un peux m'aider ?
     


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