Equation Polynôme avec coefficient complexe

[Julienbd]

Bonjour.
Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes.
J'essaye en vain de faire un exercice de préparation "noté"
Voici l'énoncé.

Soit p(z) = z³ - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i

* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z₀ que l'on calculera.

* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z₀)(z²+bz+c)

* Résoudre dans C : p(z) = 0

Si vous pouviez m'éclairer.
Merci d'avance.
Julien

[alien49]

Bonjour.
Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes.
J'essaye en vain de faire un exercice de préparation "noté"
Voici l'énoncé.

Soit p(z) = z³ - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i

* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z₀ que l'on calculera.

* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z₀)(z²+bz+c)

* Résoudre dans C : p(z) = 0

Si vous pouviez m'éclairer.
Merci d'avance.
Julien

Salut,

1) si z₀ est imaginaire pur, alors z₀ = a*i...tu peux donc simplifier p avec cette nouvelle écriture...

2) toujours la même méthode : développement puis identification...

3) avec le résultat de la question précédente, ca devrait être assez simple...

[hhh86]

Bonjour.
Je suis en classe de Terminale S et un devoir approche à grand pas sur les nombres complexes.
J'essaye en vain de faire un exercice de préparation "noté"
Voici l'énoncé.

Soit p(z) = z³ - (2+i)z² + (2+2i)z - 2i

* Démontrer que p admet une seule racine imaginaire pure z₀ que l'on calculera.

* Déterminer deux nombres réels b et c tels que :
p(z) = (z-z₀)(z²+bz+c)

* Résoudre dans C : p(z) = 0

Si vous pouviez m'éclairer.
Merci d'avance.
Julien

pour la première question, je pense qu'une démonstration par l'absurde s'impose

[hhh86]

Salut,

1) si z₀ est imaginaire pur, alors z₀ = a*i...tu peux donc simplifier p avec cette nouvelle écriture...

2) toujours la même méthode : développement puis identification...

3) avec le résultat de la question précédente, ca devrait être assez simple...

Il faut aussi montrer l'unicité de z0

[alien49]

Il faut aussi montrer l'unicité de z0

justement, en remplaçant z par a*i, supposons que tu trouves (à tout hasard ) p(z) = (a-1)*i...alors p(z) = 0 équivaut à a = 1...tu montres donc du coup qu'il n'existe qu'une et une seule racine imaginaire pure : i

[Julienbd]

Salut,

1) si z₀ est imaginaire pur, alors z₀ = a*i...tu peux donc simplifier p avec cette nouvelle écriture...

2) toujours la même méthode : développement puis identification...

3) avec le résultat de la question précédente, ca devrait être assez simple...

Euh.. je ne vous suis pas trop là..
Dois-je remplacer z par ai ?
Pourriez vous être plus précis s'il vous plait ?
Merci

[alien49]

Euh.. je ne vous suis pas trop là..
Dois-je remplacer z par ai ?
Pourriez vous être plus précis s'il vous plait ?
Merci

1) tu veux savoir s'il existe des racines imaginaires purs...or tout nombre imaginaire s'écrit z = a*i, avec a réel.
Tu peux donc remplacer z par a*i dans l'expression de p, et essayer de résoudre p = 0, et ainsi trouver la (ou les, mais ici ce sera la) valeur de a qui convient...

2) comme à chaque fois dans un exo où l'on te demande de trouver des coefficients a,b,c tels qu'une expression soit égale à une autre, il suffit de développer l'expression factorisée faisant apparaître ces coefficients, puis d'identifier les termes de même degré

3) se résume à trouver les racines d'un polynôme du second degré...

[Julienbd]

1) tu veux savoir s'il existe des racines imaginaires purs...or tout nombre imaginaire s'écrit z = a*i, avec a réel.
Tu peux donc remplacer z par a*i dans l'expression de p, et essayer de résoudre p = 0, et ainsi trouver la (ou les, mais ici ce sera la) valeur de a qui convient...

2) comme à chaque fois dans un exo où l'on te demande de trouver des coefficients a,b,c tels qu'une expression soit égale à une autre, il suffit de développer l'expression factorisée faisant apparaître ces coefficients, puis d'identifier les termes de même degré

3) se résume à trouver les racines d'un polynôme du second degré...

Je dois donc développer :
ai³ - (2+i)ai² + (2+2i)ai - 2i = 0
?

[alien49]

Je dois donc développer :
ai³ - (2+i)ai² + (2+2i)ai - 2i = 0
?

voilà, développer et simplifier...

[alien49]

voilà, développer et simplifier...

edit : j'ai été un peu vite dans un des posts où je disais p(z) = (a-1)i (c'est ca quand on fait pas les calculs )...
il va falloir que tu utilises le fait qu'un nombre complexe est nul ssi partie réelle et partie imaginaire son nulles...

[Julienbd]

voilà, développer et simplifier...

J'obtiens
ai³ - (2+i)ai² + (2+2i)ai - 2i = 0
ai³ - 2ai² + a³i⁴ + 2ai + 2ai² - 2i = 0
ai³ + a³i⁴ + 2ai - 2i = 0

Dois-je remplacer les i² par -1 / les i³ par -1i / les i⁴ par 1 ?
Que dois-je faire ensuite?

[Julienbd]

J'obtiens
ai³ - (2+i)ai² + (2+2i)ai - 2i = 0
ai³ - 2ai² + a³i⁴ + 2ai + 2ai² - 2i = 0
ai³ + a³i⁴ + 2ai - 2i = 0

Dois-je remplacer les i² par -1 / les i³ par -1i / les i⁴ par 1 ?
Que dois-je faire ensuite?

J'obtiens alors :
-ia + a + 2ai -2i = 0

Et si je met "a" en facteur, j'obtiens :
a(-i+1+2i-(2i/a)) = 0

[Julienbd]

J'obtiens alors :
-ia + a + 2ai -2i = 0

Et si je met "a" en facteur, j'obtiens :
a(-i+1+2i-(2i/a)) = 0

Ou peut-être le "i" en facteur

==> i(-a+(a/i) + 2a -2) =0

mais je ne sais pas quoi faire de ça..

[sylvainc2]

Tu as fait une erreur dans le développement. Tu dois substituer z=ai ca donne:

(ai)^3 - (2+i)(ai)^2 + (2+2i)(ai) - 2i = 0
--> a^3 i^3 - 2a^2 i^2 - i a^2 i^2 + 2a i + 2a i^2 - 2 i = 0
et tu remplaces i^3 par -i, i^2 par -1...
--> -a^3 i + 2 a^2 + a^2 i + 2ai - 2a - 2i = 0
La seule solution est a=1. Donc z=i est la racine

Puisque z=i est racine, c'est que (z-i) est facteur de p. Alors faire la division p(z)/(z-i) le résultat est une polynome de degré 2, de la forme (z²+bz+c). Ca répond à la 2me question.

Pour la 3me question, résoudre p(z)=0, bien tu connais déjà z=i comme racine, tu peux trouver les deux autres en utilisant la formule quadratique sur le polynome que tu as trouvé dans la question 2.

[Julienbd]

Tu as fait une erreur dans le développement. Tu dois substituer z=ai ca donne:

(ai)^3 - (2+i)(ai)^2 + (2+2i)(ai) - 2i = 0
--> a^3 i^3 - 2a^2 i^2 - i a^2 i^2 + 2a i + 2a i^2 - 2 i = 0
et tu remplaces i^3 par -i, i^2 par -1...
--> -a^3 i + 2 a^2 + a^2 i + 2ai - 2a - 2i = 0
La seule solution est a=1. Donc z=i est la racine

Puisque z=i est racine, c'est que (z-i) est facteur de p. Alors faire la division p(z)/(z-i) le résultat est une polynome de degré 2, de la forme (z²+bz+c). Ca répond à la 2me question.

Pour la 3me question, résoudre p(z)=0, bien tu connais déjà z=i comme racine, tu peux trouver les deux autres en utilisant la formule quadratique sur le polynome que tu as trouvé dans la question 2.

Ah merci. ça commence à venir.
Mais comment passe tu de
--> -a^3 i + 2 a^2 + a^2 i + 2ai - 2a - 2i = 0
à
La seule solution est a=1. Donc z=i est la racine