zéro puissance zéro

[Seirios]

J'ai dans le livre des frères Bogdanov, que zéro puissance zéro est égale à un !!!!!
Pourtant on m'a toujours apris que c'est une erreur mathématique.
Qu'en pensez-vous ?
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[invite97eb3f8b]

Bonjour,
et oui 0^0 est égal à 1.
(0^0 replaced by 1) c'est ce qui sera marqué sur la calculatrice.
Le pourquoi, je ne sais pas, mais cela est juste.

[g_h]

Si la calculette te prévient, c'est justement que 0⁰ n'est pas réellement défini
(c'est ce que l'on m'a appris en cours en tous cas...)

[Gwyddon]

En fait, le statut de 0^0 est un statut assez particulier.

On peut définir ce nombre, et force est de constater que l'on peut le définir comme on le souhaite, sans remettre en cause les axiomes de base (généralement on se place dans l'axiomatique de Zermelo-Frankel).

Usuellement, la convention prend 0^0=1 ; mais rien ne nous empêche de prendre aussi 0^0=0 (c'est rare).

Sur cette question très passionnante, je vous renvoie à la FAQ du forum usenet sci.maths.fr

@+

Julien

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

OK, merçi.

[invitefb0ffdce]

formellement 0^0 = exp[0log(0)] mais log(0) c'est absurde ! C'est dc bien une convention !

[shokin]

On peut aussi dire 0^0=infini ?

Shokin

[Gwyddon]

formellement 0^0 = exp[0log(0)] mais log(0) c'est absurde ! C'est dc bien une convention !

Oui et non.

Par exemple (-1)^2 = 1 mais (-1)^2 ne s'écrit pas exp(2 ln (-1))...

On pourrait aussi écrire, ayant 0^n=0 pour tout n différent de 0, que 0^0=0 (par "continuité")

Mais on a aussi n^0=1 pour tout n différent de 0, donc pourquoi pas 0^0=1 ?

On a aussi x^x= exp (x ln x) pour x réel supérieur strict à 0. Or l'on sait que donc par continuité de l'exponentielle. On pourrait donc poser, pourquoi pas, 0^0=1.

Tout est donc possible

[invitee3bb9fa7]

bonjour,

a^m / a^n = a^(m-n) = résul . seule condition a^n non nul.
exp :
2^3 / 2² = 2.2.2 / 2.2 = 2 = 2^(3-2)

3 cas possibles :
- m > n => pas de pb. (m-n > 0)
- m < n => exp :
2² / 2^3 = 2.2 / 2.2.2 = 1 / 2 = 2^(-1)
=> résul = a^(m-n) avec m-n < 0 (négatif)
d'ou les puissances négatives du type : 1 / a = a^(-1)

- m = n => m - n = 0
a^m / a^n = a^(m-n) = a^0 = 1
exp :
a.a.a.a / a.a.a.a = 1 = a^0 <= m = n = 3
rappel - seule condition : a non nul.
bonne lecture.

[invitefb0ffdce]

Oui et non.

i] Par exemple (-1)^2 = 1 mais (-1)^2 ne s'écrit pas exp(2 ln (-1))...

ii] On pourrait aussi écrire, ayant 0^n=0 pour tout n différent de 0, que 0^0=0 (par "continuité")

iii] Mais on a aussi n^0=1 pour tout n différent de 0, donc pourquoi pas 0^0=1 ?

iV]On a aussi x^x= exp (x ln x) pour x réel supérieur strict à 0. Or l'on sait que donc par continuité de l'exponentielle. On pourrait donc poser, pourquoi pas, 0^0=1.

Tout est donc possible

salut!
i] 0>=0 que je sâche !
ii]
iii]
iV] mieux

[invitee3bb9fa7]

merçi pour l'info FAQ du forum usenet sci.maths.fr
j'irai voir ce qu'ils en disent.

Ceci dit a^0 = 1 = a^(m-n) avec m = n & donc m-n = 0
mais 0^0 revient à diviser 0 par zéro
je peux diviser 0 par n'importe quel nb,
mais diviser 0 par 0 n'a pas de signification mathématique.
Peut'on lui attribuer une valeur arbitraire ? peut être, mais quel intêret ?

[invitefb0ffdce]

pour iii], n^0 = 1 s'explique très bien car n^0 = exp[0log(n)] = exp(0) = 1, pour tout n>0.
mais si n=0 on tombe sur log(0) qui n'est pas défini !

[Coincoin]

Salut,

Peut'on lui attribuer une valeur arbitraire ? peut être, mais quel intêret ?

Oui, on peut... et l'intérêt est de faire ça intelligement de façon à retrouver le comportement limite de certaines fonctions. Ainsi, la fonction x->x^x tend vers 1 quand x tend vers 0 (car xln(x) tend vers 0). On aurait donc pu prendre comme convention 0⁰=17,3, mais ça aurait pas été très très pratique : x^x n'aurait pas été continue en 0, par exemple...

[invitefb0ffdce]

salut!

mais si on pose que 0^0 = 1 alors par exple,

2^[0^0] = 2^1 = 2 = [2^0]^0 = 1^0 = 1 impossible !

[invitefb0ffdce]

euh non c faux ce que je dit !
[2^0]^0 <> 2^[0^0] of course !


si 0^0 = 0 alors 0^[0^0] = 0^0 = 0
si 0^0 = 1 alors 0^[0^0] = 0^1 = 0

euh alors c'est quoi la réponse au final

[Gwyddon]

salut!
i] 0>=0 que je sâche !
ii]
iii]
iV] mieux

i] tu prenais comme exemple exp(0 log 0) et tu expliques que c'est pas bien parce que log 0 n'existe pas ; je te montrais que cela n'est pas super pédagogique, car on peut prendre l'exemple que je donne, où log(-1) n'existe pas plus que log(0) (bon d'accord, on peut me rétorquer que log(-1) existe dans ...) et pourtant (-1)^2 = 1 a un sens.

ii] et iii] me paraissent très clairs, où est ton problème ? Je voulais seulement faire passer le message que si on s'interesse à la valeur de 0^0, on peut déjà s'interesser au comportement de a^b avec a et b entiers non tous nuls.

Si on prend a =0 on a toujours 0^b=0, ce qui peut nous pousser à généraliser à 0^0=0.

Si on prend b=0 on a toujours a^0=1, ce qui peut tout aussi bien nous pousser à généraliser à 0^0=1.

Ce n'est bien entendu pas rigoureux...

[Quinto]

0^0 ne se défini pas simplement car (x,y)->x^y n'est pas continue en 0.

[Quinto]

"bon d'accord, on peut me rétorquer que log(-1) existe dans ..."

Je n'ai jamais vue de construction qui prenait que log(-1) existait.
En fait c'est possible, mais pas naturellement car il faut faire une coupure dans le plan complexe.
Un spécialiste du sujet est je crois, mathias sur le forum.
martini bird pourrait également en dire plus.

Il me semble que l'on peut définir le log de tout nombre en passant par les variétés différentielles...

[invite21126052]

petit extrait de notre cours d'il y a quelques jours (niveau terminal...)

pour a réel STRICTEMENT positif et b réel, on définit a^b par:
a^b = exp(b*ln a)

par ailleurs, on a écrit en propriété à la suite que pour a strictement positif, a^0=1 (en démontrant avec la formule)

bon je ne sais pas si ça résoud grand' chose, mais peut être que ça mettra quelques idées un peu plus au clair? (je ne vise personne...)

amicalement

[Romain-des-Bois]

pour a réel STRICTEMENT positif et b réel, on définit a^b par:
a^b = exp(b*ln a)

Oui mais si a=0 comme dans l'exemple ...

ln a ne peut plus exister...
C'est pour ca qu'on est obligé de prendre une décision formelle.

[invite21126052]

si a=0, a^b n'est plus défini, (puisque 0 n'est pas strictement positif...) en tout cas pas de la façon exp(b* ln a) (bon, pour les terminales du moins...)

donc on ne peux pas traiter l'exemple avec cette formule; à partir de là, je suis d'accord qu'on doit le définir par convention (largement critiquée apparemment! )

mais, déjà, en quoi est-il utile de définir 0^0? dans quelle partie des maths a-t-on besoin de le définir?

[spi100]

Salut,
j'avais fait un post assez complet sur ce sujet

http://forums.futura-sciences.com/post95571-167.html

[Quinto]

Oui mais si a=0 comme dans l'exemple ...

ln a ne peut plus exister...
C'est pour ca qu'on est obligé de prendre une décision formelle.

Bein pourquoi on serait obligé?

[invitefb0ffdce]

0^0 ne se défini pas simplement car (x,y)->x^y n'est pas continue en 0.

salut! voila le pblème ! pour y=0 et x<>0 pas de pblème. Quand x tend vers 0, xlog(x) tends vers 1=> on prolonge par continuité en POSANT x^x = 1 pour x=0. c'est dc bien une CONVENTION cqfd

[spi100]

lit le lien que j'ai posté au dessus, tu verras que l'on ne peut pas imposer ce prolongement. Ca dépend des cas.

[martini_bird]

Salut,

quelques petites remarques:

1) la fonction est prolongeable par continuité en 0 en posant f(0)=1.

2) si on prend la convention (cohérente avec ce qui précède) que 0⁰=1, il faut être extrêmement prudent avec le fait que celle-ci ne permet absolument pas de lever des indéterminations de la forme 0⁰ pour la limite d'une fonction du type f(x)^g(x). (La méthode appropriée étant de passer par les logarithmes).

3) Cette convention est d'un intérêt bien maigre en mathématiques et est très peu usitée.

4) Pour Quinto: les logarithmes peuvent être définis sur C privé d'une demi-droite fermée d'origine 0. Pour une demi-droite fixée, il y a une infinité de logarithmes possibles, en raison de la détermination de l'argument. On peut faire mieux et définir univoquement le logarithme sur une surface de Riemann, qui est un revêtement au-dessus de C* (l'exponentielle étant la projection). Cependant, dans tous ces cas, le logarithme de 0 n'est pas défini.

Cordialement.

[martini_bird]

A propos des revêtements, voir le premier chapitre de ceci:

M1 - [PDF] Revêtements et groupe fondamental, par M. Audin. (106 pages)
Rappels de topologie, revêtements, homotopie des chemins, groupe fondamental, théorème de Van Kampen.

[Quinto]

.

4) Pour Quinto: les logarithmes peuvent être définis sur C privé d'une demi-droite fermée d'origine 0. Pour une demi-droite fixée, il y a une infinité de logarithmes possibles, en raison de la détermination de l'argument. On peut faire mieux et définir univoquement le logarithme sur une surface de Riemann, qui est un revêtement au-dessus de C* (l'exponentielle étant la projection). Cependant, dans tous ces cas, le logarithme de 0 n'est pas défini.

Cordialement.

Par rapport à ce que tu dis, il ne me semble pas nécessaire de couper par une droite, mais mathias par exemple parlait d'une courbe "plus ou moins" quelconque, partant de l'origine.
Il me semble que l'exemple qu'il prenait était une spirale.
Pour ce qui est du log de 0, il ne peut pas être défini, ca j'en suis bien conscient, je parlais de log négatif. Visiblement ca semble être possible justement en joignant nos propos.
Je vais lire ce document sur les revetements.
Merci,a+

[GuYem]

Pour ma part voilà ce qu'on m'a dit dans un cours d'algèbre.
Soit A un anneau.
On définit pour a dans A et n dans N a^n par récurrence en posant que a^0=1 (le neutre multiplicatif de l'anneau) et a^(n+1)=a*a^n.

Prenons pour A l'anneau Z ou q ou R ou C, prenons a=0 et voilà 0^0=1.

[Quinto]

Dans un cours d'algèbre tu n'as pas du définir ca comme ceci, mais plutôt:
a non nul, alors a^0=1 et a^(1+n)=a*a^n