Distance Minimale 1S

[Nikko22]

Bonjour j'ai un exercice a faire. J'ai commencer mais je bloque sur certaines questions.

L'espace est rapporté au repère orthonormal (O;i,j,k).
On nomme A le point de coordonnées (2;3;2).

Dans le plan P de repère (O;i,j), on désigne par D la droite d'équation y = x.
M est un point de la droite D.

1-Démontrer que, pour tout point M, il existe un réel x tel que M a pour coordonnées (x ; x ; O).
2-Calculer AM au carré en fonction de x.
3-Déterminer la position de Mo du point M pour que la distance AM soit minimale.
4-Démontrer que la droite (AMo) est orthogonale à D.

1- On sait que le point M est un point de la droite D. D est dans le plan P (o,i,j). Celui ci n'a pas de vecteur unitaire k, c-a-d que z=0.
De plus, on sait que la droite D à pour equation y=x.
Donc le point M aura pour coordonées M(x,y,z) => M(x,x,0)

2- D'après la formule :
AM² = [ √[(Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²+(Zm-Za)²] ]²
AM²= (Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²+(Zm-Za)²
AM²= 2x²-10x+17

3- 2x²-10x+17 est une fonction polynome.
Mise sous forme canonique :
2(x- 5/2 ) + 9/2

a=2 donc a est positif donc l'extremum (alpha) de cette fonction est un minimum.
Minimum pour x= 5/2
Pour que AM soit minimale, M doit avoir pour coordonnées (√5/2 ; √5/2 ; 0)

C'est juste ??? Je ne suis pas sur.

4- Pour la 4 on doit utiliser Pythagore mais je ne vois pas trop ...

Merci de votre Aide
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
1- On sait que le point M est un point de la droite D. D est dans le plan P (o,i,j). Celui ci n'a pas de vecteur unitaire k, c-a-d que z=0.
De plus, on sait que la droite D à pour equation y=x.
Donc le point M aura pour coordonées M(x,y,z) => M(x,x,0)

OK

2- D'après la formule :
AM² = [ √[(Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²+(Zm-Za)²] ]²
AM²= (Xm-Xa)²+(Ym-Ya)²+(Zm-Za)²
AM²= 2x²-10x+17

Je ne vois pas l'utilité de la première ligne ici en gras

3- 2x²-10x+17 est une fonction polynome.
Mise sous forme canonique :
2(x- 5/2 ) + 9/2

Il manque le ² (coquille)

a=2 donc a est positif donc l'extremum (alpha) de cette fonction est un minimum.
Minimum pour x= 5/2
Pour que AM soit minimale, M doit avoir pour coordonnées (√5/2 ; √5/2 ; 0)
C'est juste ??? Je ne suis pas sur.

bah, ça m'a l'air bon

4- Pour la 4 on doit utiliser Pythagore mais je ne vois pas trop ...

Ne pourrais-tu pas utilisé le produit scalaire du vecteur directeur de la droite avec AM₀ ?

Duke.

[Nikko22]

oups désolé pour le ² ....
Non on a pas encore vu le produit scalaire. La prof nous a demander de faire avec pythagore ! Peut etre dans le triangle OAMo (D étant remplacé par OMo) ???

[Nikko22]

Personne ne peut m'aider ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Une remarque pour la question 3.
Ce que tu trouves comme coordonnées c'est pour le point Mo (pas n'importe quel M).

Si tu dois utiliser le théorème de Pythagore, je penche plus pour la réciproque.
Exprime AMo², MMo² et AM² (que tu connais déjà) de manière à retrouver que AMMo est un triangle rectangle en Mo.
Qu'en penses-tu ?

Duke.

[Nikko22]

Donc d'apres toi Mo (√5/2 ; √5/2 ; 0)

Par contre pour calculer MMo² et AM² on utilise les coordonées de M (x,x,o) ?
J'ai trouvé pour AMo² = 22-5√10
MMo² = 2x²+5-2√10x et AM² = 2x²-10x+17

Je ne crois pas que AM²=AMo²+MMo²

[Duke Alchemist]

Je n'avais pas fait attention : Pourquoi as-tu mis des racine dans les coordonnées de Mo ?
Mo(5/2;5/2;0)

EDIT : Et ça marche !
On a bien AM² = AMo² + MMo² donc ...

[Nikko22]

Mo(5/2; 5/2 ;0) c'est pour AM² .... donc pour AM Mo=(√5/2 ; √5/2 ; 0)
Non ? Je vois pas trop ....

[Duke Alchemist]

Tu confonds le point M₀ et AM₀²

Les coordonnées de M₀ sont (x₀; x₀; 0) et ce x₀ correspond à la valeur pour laquelle 2(x-5/2)² + 9/2 est minimale soit x = x₀ = 5/2 donc M₀(5/2;5/2;0).
Oui ? Non ?

[Nikko22]

Ahhhhhhhhh..... j'ai compris ! En effet je confondais avec AMo².

Donc on dit que le triange AMMo est rectangle en Mo. M et Mo sont tout les deux sur la droite D. "Donc D porte MMo" (ca se dit ?)
AMo est perpendiculaire à D (car triangle rectangle). AMo est donc orhtogonale à D.

C'est bon ?

[Duke Alchemist]

Euh tu pars de ta conclusion pour y aboutir...

Tu exprimes AM² en fonction de x (c'est déjà fait ; prends la forme canonique), AM₀² (le calcul n'est pas bien dur) et MM₀² en fonction de x (ce n'est pas bien dur non plus)

Ensuite vérifie que tu as bien l'égalité : AM² = AM₀² + MM₀²... et déduis alors que le triangle ... est rectangle en ... donc que les droites ... et ... sont orthogonales.

[Nikko22]

Je partais du principe que j'avais déjà vérifier que le triangle était rectangle....
En tout cas merci beaucoup de ton aide j'y serais jamais arriver sans toi !

[invitee821a44c]

J'ai un exercice:
soit M' et M'' deux points d'un axe(delta)et d'abscisse les solutions de l’équation x²+mx+m-2
1.Déterminer m pour que la distante M'et M''soit minimale.
2.Déterminer m pour que le milieu du segment M' et M'' ait pour abscisse 1

[Duke Alchemist]

Bonjour.

As-tu déterminé les abscisses des points M' et M" ? Si oui, quelles sont-elles ?
Comment détermines-tu la distance entre de points ?
Notons d(m) la distance entre ces deux points.
A quelle condition la fonction d(x) est-elle minimale ?
En quelle classe es-tu ?

Quelles sont les coordonnées du milieu ?

Duke.