Exercice sur equations différentielles et exponentielle

[invitea97b4264]

Je m'était trompé en faisant mon système mais c'est bon jy suis arrivée Merci pour ton aide
-----

[invitea97b4264]

Voici la suite de mon énoncé dont je ne suis pas sure des réponses donc si vous pouviez me les confirmer =)

4/a. Etudier les limites de la fonction f(x) = (e^x- e^-x) /2 en +00 et -00.
b. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Merci d'avance pour votre aide ^^

[invitea97b4264]

4/a. lim f(x) en +00 = +00
car lim e^x en +00 = +00 et lim e^-x en +00 = 0

lim f(x) en -00 = -00
car lim e^x en -00 = 0 et lim e^-x en -00 = +00

[invitea97b4264]

4/b. f'(x) = e^x => la fonction exponentielle est strictement positive dans R donc f(x) croissante sur ]-00;+00[

Mes réponses a la question a et b sont correctes ?

[invite62bc11da]

4/b. f'(x) = e^x => la fonction exponentielle est strictement positive dans R donc f(x) croissante sur ]-00;+00[

Mes réponses a la question a et b sont correctes ?

la a est bonne mais ta dérivée est fausse

[invitea97b4264]

je pense savoir d'où viens mon erreur => la dérivée de e^x - e^-x est égale à e^x + e^-x et non pas e^x + e^x non ?

[invitea97b4264]

Si tel est le cas f'(x) = (e^x + e^-x) /2
=> la fonction exp étant tjr positive, le signe dépend du dénominateur. 2>0 donc f'(x) positive sur ]-00;+00[ et f(x) croissante sur ]-00;+00[.

C'est correct ?

[invite62bc11da]

oui c ca! congratulations

[invitea97b4264]

D'accord merci ^^ j'ai encore besoin d'un peu d'aide pour la dernière question la voici :

5/a. Soit m un nombre réel. Démontrer que l'équation f(x) = m a une solution a dans R.
B. Déterminer cette solution lorsque m = 3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10^-2 près).

La en revanche je ne vois pas du tout comment procéder ! :S

[invite62bc11da]

Tu sais que f définie et continue pour tout x appartenant à R et en + ces valeurs s'étalent sur R (puisque tes limites en -infini et + infini étaient respectivement -infini et +infini et que f continu). Donc il existe bien une solution tq f(x)=m car m appartient à R (-infini;+infini) Pour le rédiger trace ton tableau de variations en mettant les limites je pense que c'est le mieux.

Pour la deuxièmpe question multiplie par e(x) ton égalité quelque chose de bien apparait.

[invitea97b4264]

Pour la question a, tu as prouvé que f(x) avait une solution dans R mais pas qu'elle était unique. Pour prouver qu'une solution est unique il faut utiliser en normalement le théorème des valeurs intermédiaires non ?

[invite62bc11da]

Oui ca doit être je pense. C'est bien vieux pour moi je me souviens pas des noms des théorèmes. Je crois bien que tu as raison.

[invitea97b4264]

Si je résouds f(x) = m <=> (e^x -e^-x) /2 = 3
<=> e^x = 7
Et après je recours a la formule y = e^x et x= lny ?

[invite62bc11da]

Non ce que tu as écris est faux. D'où sort ton e^x=7? Magie?
Multiplie ton égalité du départ par e^x. Tu vas voir quelque chose de remarquable.

[invitea97b4264]

Non pas par magie
(e^x -e^-x) /2 = 3
e^x - e^-x = 6
e^x - (1/e^x) = 6
(e^2x -1) / e^x = 6
e^x =7

Mais pourquoi multiplier par e^x dès le départ je ne comprends pas

[invitea97b4264]

(e^x -e^-x) /2 = 3
e^x - e^-x = 6

=> Jusque la il me semble que c'est correct c'est a partir de la que tu entends multiplier des 2 côtés par e^x ?

e^x - (1/e^x) = 6
(e^2x -1) / e^x = 6
e^x =7

=> La tout a fais daccord avec toi c'est parfaitement inutile

[invite62bc11da]

Bon ta méthode revient au même mais tu te trompes:
tu ne peux pas passer de (e^2x -1) / e^x = 6 à e^x =7 c'est faux. Ton -1 est divisé par e^x lui aussi. La technique est de multiplier par e^x ce qui revient au même que de faire à partir de ton équation (e^2x -1) / e^x = 6 un produit en croi pour arriver à e^(2x)-6e^(x)-1=0.
Maintenant ça devrait te sauter aux yeux!

[invitea97b4264]

oui jai compris ^^ Donc on arrive à e^x = 5 c'est correct cette fois ?

[invite62bc11da]

C'est toujours aussi faux! Il ya des règles de calculs de base que tu n'a pas assimilé je pense. A partir de l'équation e^(2x)-6e^(x)-1=0 pose X = e^x tu tombe sur une équation du second degré.
STP envoie le détail de ton calcul faux qui te fais arriver à 5. Je pense que tu as encore fais une erreur de base. Envoie le il faut que je t'explik pour plus que tu fasse des erreurs de ce type.

[invitea97b4264]

J'ai compris mon erreur c'était une erreur d'étourderie mais c'est gentil de te vouloir m'aider en tout cas ca fait plaisir d'avoir a faire à quelqu'un comme toi ! =D Je vais essayer de résoudre cette équation je te fais part du résultat ^^

[invitea97b4264]

Je trouve :

Delta = 40>0 donc 2 solutions réelles
X1 = 3 + 2racine(10)
X2 = 3 - 2racine(10)

x1 = (3 + 2racine(10))*e^x = 3e^x + 2e^xRacine(10)
x2 = (3 - 2Racine(10))*e^x = 3e^x - 2e^xRacine(10)

C'est exact ? ^^

[invite62bc11da]

Je trouve :

Delta = 40>0 donc 2 solutions réelles
X1 = 3 + 2racine(10)
X2 = 3 - 2racine(10)

x1 = (3 + 2racine(10))*e^x = 3e^x + 2e^xRacine(10)
x2 = (3 - 2Racine(10))*e^x = 3e^x - 2e^xRacine(10)

C'est exact ? ^^

Non déjà:
X1 = 3 + racine(10)
X2 = 3 - racine(10)

erreur d'étourderie je pense on a (1/2)racine(40)=racine(40/4)=racine(10)

on avait posé X=e^x

donc e^x= 3 + racine(10)
e^x= 3 - racine(10) : cette équtaion est impossible car e^x est forcément positif or 3 - racine(10) négatif!

il faut donc résoudre :
e^x= 3 + racine(10)

[invitea97b4264]

Oui c'était une erreur d'étourderie
Je trouve x = ln(3 + Racine(10)) ~1,82
C'est correct ?

[invite62bc11da]

Oui c'était une erreur d'étourderie
Je trouve x = ln(3 + Racine(10)) ~1,82
C'est correct ?

C'est ca oui! clap clap! lol

[invitea97b4264]

J'Ai REUSSII!!!
XD Merci beaucoup pour ton aide et si tu as besoin n'hésite pas (je dis ca mais ca sera plutot l'inverse )

Passe une bonne soirée a bientot

[invite62bc11da]

Merci a toi ossi ++