Exercice sur equations différentielles et exponentielle

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je travaille sur un devoir depuis plusieurs jours et je ne parviens pas à résoudre un exercice de ce devoir, voici l'énoncé :

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout x de R, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1
(2) f'(0) = 1
(3) La fonction f' est dérivable sur R

1) a Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) est différent de 0.
b. Calculer f(0)

2) En dérivant chaque membre de l'égalité de la prop (1), démontrer que "pour tout réel x, f''(x) = f(x)" où f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.

Merci d'avance pour votre aide PRECIEUSE ! =D
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[invitea97b4264]

J'ai bien sur déja commencé a réfléchir dessus pour 1) a

Je me suis inspirée de la démonstration de la solution unique du système qui a pour solution unique exp:

[f'(x)]² - [f(x)]² = 1² <=> f'(x) - f(x) = 1
<=> f'(x) = f(x)
f'(0) = 1 sur R

Or si f est solution du système {f'(x) = f(x)
{f'(0) = 1
alors f'(x) différent de 0.

Cette partie est correcte ?

[invitea97b4264]

Si vous regardez cette discussion je vous serait reconnaissante de jeter un coup d'oeil à mon autre discussion "Exercice sur probabilités conditionelles" qui n'a pour l'instant pas de réponses.

Merci !

NB : Cela fait maintenant plus de 14h que je passe sur ce devoir dont 9h sur le forum et je ne l'ai toujours pas fini donc soyez reconnaisants de bien vouloir me répondre si vous le pouvez. Merci

[invite62bc11da]

Bonjour à tous !

Je travaille sur un devoir depuis plusieurs jours et je ne parviens pas à résoudre un exercice de ce devoir, voici l'énoncé :

On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes :
(1) pour tout x de R, [f'(x)]² - [f(x)]² = 1
(2) f'(0) = 1
(3) La fonction f' est dérivable sur R

1) a Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) est différent de 0.
b. Calculer f(0)

2) En dérivant chaque membre de l'égalité de la prop (1), démontrer que "pour tout réel x, f''(x) = f(x)" où f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.

Merci d'avance pour votre aide PRECIEUSE ! =D

Bonjour

On fait passer de l'autre côté ce qui donne:

[f'(x)]²=[f(x)]²+1
donc f'(x)= sqrt([f(x)]²+1)
donc f'(x) est nul si [f(x)]²=-1 ce qui est impossible car f est dérivable sur R (et non dans C)
donc f'(x) différent de 0

[f'(x)]² - [f(x)]² = 1
[f'(0)]² - [f(0)]² = 1
1-[f(0)]²=1
f(0)=0

On dérive l'égalité qui donne:

2f'(x).f''(x)-2f(x).f'(x)=0
on divise par 2f'(x) qui est différent de 0 on l'a démontré avant
d'ou:
f''(x)-f(x)=0
donc f''(x)=f(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea97b4264]

f'(x)= sqrt([f(x)]²+1) => Dans cette écriture, qu'est ce que tu appelles "sqrt" ?

[invite62bc11da]

racine carrée

[invitea97b4264]

donc f'(x) est nul si [f(x)]²=-1 ce qui est impossible car f est dérivable sur R (et non dans C)
donc f'(x) différent de 0

Je comprends ton calcul mais je ne comprends pas ton raisonnement a savoir que (f(x))² = -1 est impossible

nb : Peux tu me rapeller à quel ensemble de définition correspond C je ne me souviens plus

[invitea97b4264]

On dérive l'égalité qui donne:

2f'(x).f''(x)-2f(x).f'(x)=0

Je ne comprends pas non plus comment tu aboutit a cette dérivée.
Déja (f'(x))² = 2f'(x) non?

[invite62bc11da]

Je comprends ton calcul mais je ne comprends pas ton raisonnement a savoir que (f(x))² = -1 est impossible

nb : Peux tu me rapeller à quel ensemble de définition correspond C je ne me souviens plus

C est l'ensemble des nombres complexes. Si on été en complexe on pourrait avoir x² négatif (i²=-1) mais on est dans les réels donc il n'y a pas de solutions ds les réels a qqchose au carré qui est négatif

[hhh86]

Je ne comprends pas non plus comment tu aboutit a cette dérivée.
Déja (f'(x))² = 2f'(x) non?

absolument pas (u')²=2uu' c'est une fonction composée

[invite62bc11da]

absolument pas (u')²=2uu' c'est une fonction composée

hhh 86 a raison c ce que j'ai écris. Prends le temps de lire calmement les choses!

Excuse moi ca n'a rien a voir c'est moi qui ai mal lu c fo ce quil a écri ca n'a rien a voir
Je ne sais pas ce qu'il a voulu dire mais en tt k:
la dérivé de (u')²= 2.u'.u''

[invitea97b4264]

absolument pas (u')²=2uu' c'est une fonction composée

Ok merci je ne connaissait pas cette formule ^^ Et désolée d'etre impatiente c'est un gros défaut mais je le reconnait c'est déja ca

[hhh86]

C est l'ensemble des nombres complexes. Si on été en complexe on pourrait avoir x² négatif (i²=-1) mais on est dans les réels donc il n'y a pas de solutions ds les réels a qqchose au carré qui est négatif

Par contre l'ensemble des nombres complexes, elle ne l'a peut-être pas encore abordé ^^

[hhh86]

Ok merci je ne connaissait pas cette formule ^^ Et désolée d'etre impatiente c'est un gros défaut mais je le reconnait c'est déja ca

Pour le démontrer utilise le produit
u²=u*u
Donc (u²)'=(u*u)²=u'u+uu'=2uu'
Ou alors la formule de la dérivée d'une fonction composée (uov)'=u'ov*v'

[invitea97b4264]

hhh 86 a raison c ce que j'ai écris. Prends le temps de lire calmement les choses!

Excuse moi ca n'a rien a voir c'est moi qui ai mal lu c fo ce quil a écri ca n'a rien a voir
Je ne sais pas ce qu'il a voulu dire mais en tt k:
la dérivé de (u')²= 2.u'.u''

Je crois que hhh86 l'applique ici pour le cas général mais pour cette fonction tu as juste. En revanche je ne comprends pas lorsque tu dis que tu divise par 2f'(x) comment parviens tu a ce résultat ?
[(2f'(x)*f''(x)) / 2f'(x)] - [(2f(x)*f'(x)] / 2f'(x) = 0
f''(x) - 2f(x)/f'(x) = 0 a moins d'avoir fait une erreur détourderie je ne vois pas comment tu peut obtenir f(x)? :S

[hhh86]

absolument pas (u')²=2uu' c'est une fonction composée

(u²)' désolé

[hhh86]

excusez moi j'ai lu vite fait la discution et j'ai pas trop fait attention à ce qui était marqué

[invitea97b4264]

non en fait c'est bon j'ai compris autant pour moi

[invitea97b4264]

Par contre l'ensemble des nombres complexes, elle ne l'a peut-être pas encore abordé ^^

Je viens de l'aborder il y a peu c'est encore tout frais et pas très bien acquis Mais je ne comprend pas pourquoi (f(x))² = -1 est impossible jai beau chercher je ne vois pas :S

[invitea97b4264]

Je viens de l'aborder il y a peu c'est encore tout frais et pas très bien acquis Mais je ne comprend pas pourquoi (f(x))² = -1 est impossible jai beau chercher je ne vois pas :S

Je viens de comprendre dans R un carré est toujours positif mais dans C, i² = -1. ^^ merci

[invitea97b4264]

Voici la suite de mon exercice :

3/ On pose u = f'+f et v = f'-f
a. Calculer u(0) et v(0)
b. Démontrer que u' = u et v' = -v
c. En déduire les fonctions u et v.

[invitea97b4264]

a. u(0) = v(0) = 1
C'est correct ?

[hhh86]

Je vais voir comment je peux t'aider. Je refais tout. Si je réécrits ce que mat024 a déjà marqué, j'en suis désolé
1) a Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) est différent de 0.
Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un réél a tel que f'(a)=0
Or [f'(a)]² - [f(a)]² = 1
<=>- [f(a)]² = 1
<=>[f(a)]² = -1
Ce qui est absurde car f(a) appartient à IR

b/f'(0) = 1
Or [f'(0)]² - [f(0)]² = 1
<=> [f(0)]² = [f'(0)]²-1
<=> [f(0)]² = 0
<=> f(0) = 0

2)[f'(x)]² - [f(x)]² = 1
[f'(x)]² = 1+[f(x)]²
Donc [[f'(x)]²]' = [1+[f(x)]² ]'
<=>2[f'(x)][f''(x)] = 2[f(x)][f'(x)]
Or pour tout x appartenant à IR, f'(x) est différent de 0 donc f(x)=f''(x) pour tout x appartenant à IR

[invitea97b4264]

Merci

Pour la a et b jy arrive seule mais comment déduite les fonctions u et v ? On utilise le théorème des équations différentielles y'=ay et on en déduit les fonctions ?

[hhh86]

oui quand tu auras démontré que u' = u et v' = -v

[invitea97b4264]

Oui je l'ai démontré. Donc ensuite je trouve u(x)=e^x car
u' = u => u(x) = Ce^x
u(0) = 1 <=> C = 1
Donc u(x) = e^x

De meme v(x) = e^-x

Mais je n'arrive pas a répondre a cette question :
d. En déduire que, pour tout réel x, f(x) = (e^x - e^-x) / 2

Donc si vous pouviez me donner quelques pistes de réflexion.. ^^

[SchliesseB]

si u=f'+f
et v=f'-f

alors que vaut f' en fonction de u et v?
et que vaut f?


sinon pour la première question, la démonstration par l'absurde n'est pas obligatoire

donc

pour information, les deux fonctions que tu trouve (f et f') s'appelle cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, tu trouveras plein de trucs sur elle sur le net (par exemple sur wiki)

[invitea97b4264]

On pourrait résoudre par un système mais je ny arrive pas sachant que on ne connait ni u ni v tu n'aurait pas une méthode pour trouver f(x) ?

[invitea97b4264]

je n'arrive pas a résoudre ce système :S

[SchliesseB]

si tu ajoutes la première ligne à la seconde et tu divises le tout par deux?

et si tu soustrais la seconde a la première et tu divises le tout par deux?

as tu réellement cherché?