Projeté orthogonal

**mj4** · 05/04/2010, 14h24

Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre. Pourriez vous m'aider? En voici l'énoncé:

J'ai réussi à insérer la figure, je crois

Nom : ipqe0kupo2.jpg
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Taille : 20,4 Ko

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On a un cercle de centre O et de rayon 3, H est un point du plan tel que OH = 5 . d est la perpendiculaire à (OH) passant par H. M est un point quelcoonque de d, on a les tangentes issues de M en B et C au cercle.
(BC) coupe (OM) en N et (OH) en I.

a. Je dois démontrer que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires.

J'ai donc fais (toutes les longueurs que j'écris sont des vecteurs):

OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
= OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
= -9 + 9
=0
donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC

b. On me demande ensuite de justifier les égalités suivantes: (toute ces longueur sont des vecteur sauf OC au carré):
OI .OH = OM . OI = OM .ON = OM . OC = OC au carré = 9

j'ai donc utilisé la projeté orthogonal (pourriez vous me dire si mes démonstration sont justes):

- d'après le projeté orthogonal:
OM .OI = OH .OI

- (BC) est perpendiculaire à (OM) , les popints I et N appartiennent à (BC) donc les droites (BI) et (BC) sont perpendiculaire à (OM), de plus N est le point d'intersection de (OM) et (BC), donc d'après le projeté orthogonal:
OM . OI = OM .ON

- les droites (BC) et (OM) sont perpendiculaires, N appartient à (BC) et (OM) , donc d'après le projeté orthogonal:
OM .OC = OM.ON

- (MC) est une tangente au cercle issue de M en C, donc OC est un rayon et mesure 3, donc (OC) est perpendiculaire à (CM), donc d'après le projeté orthogonal:
OM.OC = OC au carré = 9

j'ai bien démontrer les égalités de départ.

c . On me demande ce que je peux en déduire pour le point I.
Je ne sais pas vraiment.

d. On Me demande ensuite sur quelle courbe le point N se déplace.
Je ne sais pas non plus.

Merci d'avance pour votre aide

invited4f0a342 · 05/04/2010, 14h58

Bonjour,
c) Quelle est la position du point I ? Dépend-elle de M ?
d) Etudie les propriétés du triangle OIN.

**mj4** · 07/04/2010, 08h09

D'accord, je vais y réfléchir, mais ce que j'ai fait pour la première question est juste ?

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 09h33

Bonjour,

Envoyé par mj4

OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
= OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
= -9 + 9
=0
donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC

Oui ça va, prends juste le temps de justifier correctement pourquoi $\text{[math]}$ et pourquoi $\text{[math]}$ .

Bon courage!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mj4** · 07/04/2010, 11h51

d'accord, merci et donc pour le justifier, je peux dire avant le calcule que :
d'après le projeté orthogonal vecteur OM scalaire vecteur BO = vecteur OB scalaire vecteur BO

et de même pour vecteur OM scalaire vecteur OC

Merci d'avance

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 12h36

Envoyé par mj4

d'après le projeté orthogonal vecteur OM scalaire vecteur BO = vecteur OB scalaire vecteur BO

Oui l'idée est là, mais la formulation non. Le produit scalaire de deux vecteur est égal au produit scalaire du projeté orthogonal de l'un sur l'autre avec l'autre, nous sommes d'accord. Cependant qu'est ce qui justifie que B soit le projeté orthogonal de M sur (OB)?

Bon courage!

**mj4** · 07/04/2010, 12h52

C'est parce que l'angle OBM mesure 90°

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 13h03

Dans ce cas comment justifies tu qu'il mesure 90°?

**mj4** · 07/04/2010, 13h12

est ce que je pourrais rédiger de cette façon
(MC) est une tangente au cercle issue de M en C, or OC est un rayon de ce cercle, donc (OC) est perpendiculaire à (CM), donc d'après le projeté orthogonal:
vecteur OM . vecteur OC = OC au carré

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 13h26

Envoyé par mj4

(MC) est une tangente au cercle issue de M en C, or OC est un rayon de ce cercle, donc (OC) est perpendiculaire à (CM)

D'accord pour la justification de l'orthogonalité entre (MC) et (OC).

Envoyé par mj4

d'après le projeté orthogonal:
vecteur OM . vecteur OC = OC au carré

Cela n'a pas de sens; le projeté orthogonal désigne un point. C'est comme si tu disais: "d'après le point C, vec(OM).vec(OC) = ..."

Ce n'est pas un problème de raisonnement, mais d'expression.

Bon courage.

**mj4** · 07/04/2010, 14h49

d'accord, et pour la c est ce que je pourrais rédiger comme ça:

l'expression du produit scalaire OI.OH = 9
le point I ne dépend donc pas du point M, donc lorsque le point M se déplace, le point I reste fixe, sa position ne change donc jamais,

je la calcule: vecteur OI scalaire vecteur OH =9
or les vecteur OI et OH sont colinéaire et de même sens ,
donc vecteur OI scalaire vecteur OH = OI . OH =9
OI = 9/OH = 9/5
donc i est un point fixe qui se situe à 9/5 de O

Merci d'avance

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 15h22

Envoyé par mj4

l'expression du produit scalaire OI.OH = 9
le point I ne dépend donc pas du point M, donc lorsque le point M se déplace, le point I reste fixe, sa position ne change donc jamais,

Il y a de l'idée, tu dis juste 3 fois la même chose.

De plus il te manque une condition pour pouvoir affirmer que I est fixe (cette condition supplémentaire est donnée dans l'énoncé).

Envoyé par mj4

je la calcule: vecteur OI scalaire vecteur OH =9
or les vecteur OI et OH sont colinéaire et de même sens ,

Comment sais tu que les vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont colinéaires? Et de même sens?

Envoyé par mj4

donc i est un point fixe qui se situe à 9/5 de O

Cette conclusion ne suffit pas. En la lisant, j'en conclus que I est quelque part sur le cercle de centre O et de rayon 9/5, et qu'il est fixe.

Or I n'est pas n'importe où sur ce cercle, il est situé sur (OH). Le plus simple pour exprimer ta conclusion est d'utiliser une notation vectorielle.

Bon courage!

**mj4** · 07/04/2010, 15h30

Ok merci, mais je ne vois pas comment faire

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 17h53

$\text{[math]}$

Le fait que ce produit scalaire soit toujours égal à 9 te garantit uniquement que I est sur une certaine droite perpendiculaire à (OH). Quelle est la condition supplémentaire te garantissant que I est fixe, et donc indépendant de la position de M? (à nouveau cette condition est dans l'énoncé)

La même condition susmentionnée te garantit aussi que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont colinéaires.

Pour prouver qu'ils sont de même sens, raisonne sur le signe du produit scalaire.

Une fois que tu as justifié tout cela, tu peux te permettre d'écrire que $\text{[math]}$

Après calculs, comment peux tu finalement exprimer le vecteur $\text{[math]}$ ?

Bon courage!

**mj4** · 07/04/2010, 18h30

D'acord, cela vient d faite que I appartienne au segment OH plus précisément,
c'est parce que (BM) et (CM) sont deux tangete issues de M

désolé mais je ne vois pas vraiment, malgré toutes les indications suplémentaires que vous m'avez données

mais après les calcul, normalement je devrait trouver que OI mesure 9/5

Merci d'avance

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 18h53

Envoyé par mj4

D'acord, cela vient d faite que I appartienne au segment OH

En effet, et cela par construction. Cela te garantit aussi que O,I et H soient alignés.

Sachant cela, en raisonnant sur le signe du produit scalaire \vec{OI}.\vec{OH}, on peut déduire les sens respectifs de ces vecteurs.

Pour l'histoire du 9/5, dire seulement que I est à 9/5 de O est insuffisant; cette fois encore il faut être un peu plus précis. Laisse tomber la notation vectorielle, et sois juste un peu plus précis dans le positionnement de I (c'est à nouveau la même condition qu'il faut utiliser).

Tu y es presque, juste deux trois détails de justification à régler!

**mj4** · 07/04/2010, 19h22

D'accord, donc pour le calcule j'écrirais après la justification que les vecteur OI et OH sont colin"aire et de même sens que

vecteur OI scalaire vecteur OH =9
or vecteur OI scalaire vecteur OH = Oi . OH (longueur)
donc (longueur) OI . OH = 9
donc OI = 9/OH = 9/5

mais je ne vois pas ce qui m'indique dans l'énoncé que I appartienne au segment OH

Merci d'avance

**mj4** · 07/04/2010, 19h27

et pour la question d, je pensais écrire:

les point I et O sont fixes, le point N est le point d'intersection des droites (BC) et (OM) qui sont perpendiculaire,
le point I appartient à (BC)
donc le triangle ONI est rectangle en N,
le point N se trouve donc sur le cercle de diamètre [OI] qui mesure 9/5 ,

Merci d'avance

**mj4** · 07/04/2010, 20h17

Pourriez vous me dire la condition qui me garantit que I soit bien fixe, parce que je ne vois pas du tout, sinon j'ai compris le raisonnement et le reste

Merci d'avance

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 20h27

Envoyé par mj4

(BC) coupe (OM) en N et (OH) en I.

Par construction. Mais en effet, l'énoncé dit que c'est à (OH) qu'appartient I, pas à [OH].

Cela ne change rien cependant.

EDIT: ceci répond au message #17

**mj4** · 07/04/2010, 20h36

d'accord, merci beaucoup et sinon pour la question d, ma réponse vous parait bien ?

**mj4** · 07/04/2010, 20h38

Et pour la question 1 j'ai changé et je préfère utiliser la médiatrice, j'ai donc fait:

(MC) et (MB) sont tangentes au cercle alors les segments [MB]et[MC] sont isométriques.
M est donc équidistant de B et C.<══> M est sur la médiatrice de [BC]
D'autre part, B et C sont sur le cercle de centre O donc OC = OB.
O est donc équidistant de B et C.<══> O est sur la médiatrice de [BC]
Ainsi, la droite (OM) est la médiatice de (BC).
(OM) est donc perpendiculaire à (BC).

Merci d'avance

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 20h38

Envoyé par mj4

et pour la question d, je pensais écrire:

les point I et O sont fixes, le point N est le point d'intersection des droites (BC) et (OM) qui sont perpendiculaire,
le point I appartient à (BC)
donc le triangle ONI est rectangle en N,
le point N se trouve donc sur le cercle de diamètre [OI] qui mesure 9/5
Merci d'avance

Cela convient. Par souci de clarté, j'aurais plutôt dit que O et I sont fixes juste après avoir dit que ONI est rectangle en N cependant. De cette façon tu mets en évidence que N se déplace sur le cercle de diamètre [OI].

En argumentant un peu plus, on peut même prouver qu'il s'agit d'un demi cercle, mais je ne pense pas que cela soit nécessaire ici !

**Plume d'Oeuf** · 07/04/2010, 20h51

Envoyé par mj4

(MC) et (MB) sont tangentes au cercle alors les segments [MB]et[MC] sont isométriques.

J'aurais dit:Par construction (MB) et (MC) sont tangentes au cercle respectivement aux points B et C, alors ...

Envoyé par mj4

Ainsi, la droite (OM) est la médiatice de (BC).

Fais attention, une droite n'a pas de médiatrice, un segment oui!

Enfin, tu utilises la justification qui te plaît. Celle du produit scalaires était tout aussi appropriée, surtout si tu viens de les voir en cours. C'est à toi de voir, on ne peut pas t'en vouloir de démontrer l'orthogonalité de tes deux droites en passant par la médiatrice, du moment que ta justification se tient.

Bon courage!

**mj4** · 08/04/2010, 16h13

D'accord, merci beaucoup pour votre aide

Bonne continuation

Projeté orthogonal