Fonctions réciproques

[invite15bc8b69]

Bonjour,

Je me suis intéressée aux fonctions et j'ai observé certaines similitudes entre des fonctions liées par quelque chose que je n'ai pas réussi à définir.

Les fonctions à partir desquelles je me suis interogées sont: le logarithme népérien et l'exponentielle. J'ai remarqué que les deux courbes représentatives sont symétriques par rapport à l'axe d'équation: y=x. Il en est de même pour x² et racine(x), 2x et (1/2)x.
On m'a dit que ces couples de fonctions s'appellent des fonctions réciproques.
Pourtant, lorsque que je me suis renseignée exclusivement sur le logarithme népérien et l'exponnentielle, on m'a dit que l'exponentielle était l'identité du logarithme népérien.

J'aimerais savoir ce qu'il en est sur ce type de couple de fonctions.
Merci d'avance,
Accro-physique
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[silk78]

On appelle en effet ces fonctions des fonctions réciproques. Voici quelques infos à leur propos :

Définition

Intuitivement, la fonction réciproque de f est la fonction qui fait "l'inverse" de f. La définition exacte est :

Soient I et J deux ensembles et f une fonction bijective de I dans J. On appelle fonction réciproque de f, que l'on note f^-1 l'unique fonction de J dans I telle que f(f^-1(x))=f^-1(f(x))=x.

Exemples

Tu en as déjà donné quelques uns. Voici les habituels :
- ln et exp
- x² et racine(x)
- en général xⁿ et racine-n-ième(x)
- x et 1/x sont leur propre réciproque
- sin et arcsin et les équivalents pour toutes les fonctions trigonométriques (même si je ne suis pas sur que tu les connaisses celle là)

Propriétés

- Une propriété que tu as remarqué par toi-même : les courbes représentatives de f et f^-1 sont symétrique par rapport à la droite y=x.

- on a (f^-1)^-1 = f

- niveau dérivée, si f' ne s'annule pas sur I, on a :



Voilà, j'espère que ça t'as un peu éclairé ...
Silk

[invite15bc8b69]

ReBonjour,

Merci pour ta réponse. Cela a mis en forme ce que je (re)sentais.

Il me reste cependant une question. Dans le cas de (racine nième(x))/(x)^n, est-on obligé d'élargir l'ensemble de définition d'une des deux fonctions?
Par exemple, avec x² et racine(x), x² est définie sur IR. Pour que racine(x) soit la réciproque de l'intégralité de la foncton carrée; on est obligé d'élargie l'ensemble de définition de racine(x) sur C. Est-ce faisable ou doit-on se restreindre à les étudier sur IR₊


Je me suis aussi rendu compte d'un autre phénomène et je me demandais si cela avait à voir. Je vais essayer de l'expliquer clairement.
On prend deux fonctions réciproques f(x) et g(x). On prend un réel A appartenant à f(x) et son "équivalent" A₁ sur g(x).
On prend un autre réel B appartenant à f(x) et B₁, l'"équivalent" de B sur g(x).
J'ai remarqué que l'intersection de la droite (AB) et de la droite (A₁B₁) se situait sur la droite d'équation y=x.
Cela démontre-t-il la symétrie de ces courbes?

Merci beaucoup,
Accro-physique

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

La fonction x² est certes définie sur IR, mais est à valeurs dans IR⁺. En conséquence il n'y a pas besoin d'élargir l'ensemble de définition de la fonction racine (et ça tombe bien parce que sinon on passe dans le monde des complexes).

Pour le reste, j'ai un peu de mal à voir ce que tu appelles "l'équivalent"...

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Je suppose qu'on a A=(a,f(a)) avec a un réel et A₁=(f(a),g(f(a)))=(f(a),a) et de même B=(b,f(b)) et B₁=(f(b),b)

On a alors l'intersection entre AB et A₁B₁ sur la droite y=x.
Perso, je dirais que c'est plutôt une conséquence de la symétrie.

Pour la preuve de la symétrie, elle est assez simple en utilisant les similitudes complexes.

 Cliquez pour afficher

Soient f (de I dans J) et g (de J dans I) deux fonctions réciproques et C_f et C_g leurs courbes représentatives.

1) Soit M un point de la courbe de C_f. Il existe x dans I tel que l'on aie M=(x,f(x)). On a f(x) appartient à J donc le point M'=(f(x),g(f(x))=(f(x),x) appartient à C_g.

On note S la symétrie par rapport à la droite y=x. S est une similitude indirecte donc elle a pour formule complexe avec a et b deux complexes.

On a s(0)=0 donc b=0
On a aussi s(1)=i ; or s(1)=a donc a=i.

On a donc .

Soit m l'affixe de M et m' l'affixe de M'.
On a m=x+if(x) et m'=f(x)+ix.
s(m)=i(x-if(x))=ix+f(x)=m'. Le symétrique de M est bien M' donc la courbe symétrique de C_f est inclus dans C_g.

2) Soit M' un point de C_g. Il existe y dans I tel que M'=(y,g(y)). Soit M=(g(y),f(g(y))=(g(y),y). On a g(y) dans I donc M appartient à C_f. On vérifie facilement que s(M)=M'.
Donc pour tout point M' de C_g, il existe un point M de C_f tel que M' soit le symétrique de M donc C_g est inclus dans la courbe symétrique de C_f.

Conclusion : par double inclusion, on a bien la courbe symétrique de C_f égale à C_g

J'ai rien oublié ? Et est-ce qu'il y a moyen de ne pas passer par la double inclusion (en une seule fois je veux dire) ?

[Isotope-Instable]

la fonction x au carre n'est pas une bijection de R vers R mais si on considère sa restriction a R+; elle admet une reciproque qui est la fonction racine carre

[invite15bc8b69]

Bonjour,

Merci pour vos réponses

Ce que j'entend par "l'équivalent" est bien ce qu' a supposé Silk78.

Je suppose qu'on a A=(a,f(a)) avec a un réel et A1=(f(a),g(f(a)))=(f(a),a) et de même B=(b,f(b)) et B1=(f(b),b)

. (Je n'arrive pas toujours à m'exprimer correctement)

J'ai essayé graphiquement de regarder si la symétre induisait ce phénomène d'intersection, et j'ai en effet remarqué que deux courbes représentatives d'une fonction symétiques par rapport à un axe se coupaient sur celui-ci. (j'ai pris au hazard une courbe et j'ai fait le symétique par rapport à un axe pris au hazard également).
Par contre, je n'ai pas trop compris ta démonstration.

Je m'étais aussi interrogée sur les fonctions réciproques affines. Je me demande si on peut écrire:
Soit f(x) une fonction affine d'équation y=ax+b
Alors f^-1(x) sa réciproque d'équation y=(1/a)x+c, c la solution de l'équation f(x)=0.

Merci,
Accro-physique

[silk78]

Rebonjour,

Pour une fonction affine de la forme f(x)=ax+b, ce que tu proposes marche. En effet, si on note g(x)=x/a+c avec f(c)=0, on a :
f(g(x))=a*(x/a+c)+b=x+ac+b=x+f(c)=x. Donc on a bien g réciproque de f.

Pour la démonstration, c'est ma faute, je suppose qu'en fait tu n'as pas vu les nombres complexes et encore moins les similitudes.

En fait, il faut remarquer que si le point (x,y) appartient à la courbe de f alors le point (y,x) appartient à la courbe de g.
Ensuite, j'utilisais les outils cités plus haut (similitudes et complexes) pour prouver que les points (x,y) et (y,x) sont symétriques par rapport à la droite y=x.
Mais il est parfaitement possible de prouver qu'ils le sont d'une manière purement géométrique.

Une dernière chose, que peut-être tu n'as pas vu et qui aurait pu te servir pour la fonction affine. Si tu as une courbe d'équation y=f(x), et que tu trouve une fonction g telle que x=g(y), alors cette fonction g est la réciproque de f

Voilà, j'espère que ça répond à tes questions.
Silk

[Elie520]

En conséquence il n'y a pas besoin d'élargir l'ensemble de définition de la fonction racine (et ça tombe bien parce que sinon on passe dans le monde des complexes).

Et justement, il faut restreindre l'ensemble de définition de x² à IR⁺.

Parce que pour espérer avoir un couple de fonctions réciproques, il faut que celles-ci soient Bijectives De I dans J et de J dans I, c'est à dire définies, continues et strictement monotones sur ces intervalles.

Ainsi, quand silk78 t'a parlé de sin et arcsin, il faut faire attention a prendre un intervalle de la fonction sinus où elle est bijective ! Ainsi, la fonction arcsin définie de [-1;1] dans [-pi/2;pi/2] est la fonction réciproque de la fonction sinus définie de [-pi/2;pi/2] dans [-1;1].

[invite15bc8b69]

Bonjour,

Merci beaucoup

Cela répond bien à mes question

remerci
Accro-physique

[invite15bc8b69]

Rebonjour,


En fait, pour étudier un couple de fonctions réciproques, il faut qu'elles soient définies sur le même ensemble de définition, qu'elles soient continues et que f(f^-1(x))=x.

Par contre, je ne comprend pas pourquoi il faut qu'elles soient monotones.
Ne pourrait t-on pas avoir une fonction f(x) croissante sur un intervalle I et décroissante surun autre aintervalle J et sa réciproque, toutes conditions réunies, décroissante sur I et croissante sur J?

(Désolée pour le double post, je n'avais pas encore vu ton message Elie520)

Merci,
Accro-physique

[silk78]

Le problème c'est que si ta fonction est d'abord croissante puis décroissante, alors il existera des nombres qui auront deux antécédents , soit plus clairement on aura y=f(x)=f(x'). Et donc on aurait f^-1(y)=x et f^-1(y)=x', ce qui est impossible (une fonction ne peux pas donner deux images différentes pour un même antécédent).

Par contre, si la fonction est strictement monotone, alors on peut-être sur que chaque nombre de J (l'intervalle d'arrivée), ne sera atteint qu'une fois ...

Dernière chose, il y avait une autre petite erreur dans ce que tu disais, une fonction f et sa réciproque f^-1 ont le même sens de variation

Voilà, j'espère être clair.
Silk

[Elie520]

Le problème c'est que si ta fonction est d'abord croissante puis décroissante, alors il existera des nombres qui auront deux antécédents.

En effet, cela se remarque très bien, si tu prends l'exemple de la fonction x², et que tu fais le symétrique par rapport à la droite d'équation y=x, tu obtiendra une seule courbe certes, mais représentative de deux fonction à la fois : et

[invite15bc8b69]

Bonjour,


Merci à tous pour vos réponses et pour votre aide

Accro-physique