[Defi] Construction géométrique

[Lelouch]

Bonjour,

Voila je viens poster un défi ( du moins pour un lycéen ) qui ne nécessite pas plus de connaissance en géométrie que ceux du collège mais que je trouve assez intéressant.

Soit A et B deux points fixes du plan et soit k une longueur donnée. Il s'agit de construire a la règle et au compas le/les point(s) M qui vérifie(nt):



Bonne chance
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[Médiat]

Bonjour,

Voila je viens poster un défi ( du moins pour un lycéen ) qui ne nécessite pas plus de connaissance en géométrie que ceux du collège mais que je trouve assez intéressant.

Soit A et B deux points fixes du plan et soit k une longueur donnée. Il s'agit de construire a la règle et au compas le/les point(s) M qui vérifie(nt):



Bonne chance

Il n'y a pas beaucoup de solutions à (2 en fait).

[Lelouch]

2 solutions ? Il y a une infinité de M qui vérifient

[Seirios]

Il n'y a pas beaucoup de solutions à (2 en fait).

Il n'y en a pas plutôt une infinité ? En rajoutant la condition , on trouve alors deux ou une ou aucune solution selon la valeur de k.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lelouch]

on trouve alors deux ou une ou aucune solution selon la valeur de k.

Pas tout a fait d'accord

[Seirios]

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Pourtant, si on pose , on a , ce qui correspond graphiquement à l'intersection d'un cercle et d'une droite, donc il devrait bien y avoir deux ou une ou aucune solution(s), non ?

[Médiat]

Il n'y en a pas plutôt une infinité ?

Je ne sais où j'avais la tête ce matin

[Lelouch]

Remarque très pertinence tu m'a fait douter un instant .

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Il est vrai que tu trouve deux deux couple solution (MA,MB) ou rien mais a chaque couple de solution correspond deux points M sur le cercle.

[Cherchell]

MA² + MB² = 2 MI² + 2 IA²
où I désigne le milieu de [AB] (pense à passer par les produits scalaires pour le prouver)
donc MA² + MB² = AB² est équivalent à 2 MI² + 2 IA² = 4 IA² soit MI² = IA²
donc M décrit le cercle de centre I de rayon IA.

Si , MA + MB = k n'a pas de solution, sinon, M décrit une ellipse de foyers A et B.
Penser à une ficelle accrochée en A et B de longueur fixe k ...
M est donc un des points d'intersection lorsqu'ils existent de cette ellipse et du cercle

[Lelouch]

Et sans ficelle tu ferais comment ? Ce qui rend le probleme intéressant c'est justement la construction a la règle et au compas uniquement.

[Cherchell]

D'après mes souvenirs, il suffit de tracer le cercle de centre A de rayon k et de choisir un point N sur ce cercle ensuite de tracer la médiatrice de [BN] qui coupe AN en un point M tel que MB = MN et comme AN = AM + MN on a k = AM + BM donc M est un point de l'ellipse. On recommence autant de fois qu'on a la patience de le faire et on trace une ellipse de foyer A et B et de grand axe k

[Lelouch]

Cela reste quand même une "approximation" puisque tu n'arrivera pas a construire une ellipse "parfaite" .. Et sans passer par l'ellipse tu ferais comment ? (avec un peu d'astuce tu n'en a pas besoin de la construire)

[Elie520]

A mon avis, certes il faut savoir que c'est l'intersection d'un cercle et d'une ellipse, mais il ne faut pas cherche à construire l'ellipse, mais plutôt à trouver ou se situe les points solutions sur cette ellipse.

[Lelouch]

Alors personne n'avance ?

[Seirios]

Je propose cette méthode :

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On trace le cercle de centre O et de rayon AB et la droite d'équation ; sur un autre graphe, on trace le même cercle. On peut alors relever les distances MA et MB sur le premier graphe avec les abscisses et ordonnées des points d'intersections (ce qui ne nécessite que des constructions de petits triangles rectangles), que l'on reporte au compas sur le deuxième graphe. Ensuite, on complète éventuellement la figure en utilisant la symétrie par rapport aux axes du repère.

[Lelouch]

@Phys2

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Cette méthode marche mais ce n'est pas une méthode géométrique mais plutôt analytique de plus quand on va relever les abscisses et ordonnés des points d'intersection il y aura toujours une marge et l'on revient a notre histoire d'approximation

Un indice pour ceux qui cherchent:

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Tracer le cercle C1 de diamètre [AB] (facile tout le monde l'a trouvé) et tracer le cercle C2 de centre A et de rayon k.

[Seirios]

@Phys2

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Cette méthode marche mais ce n'est pas une méthode géométrique mais plutôt analytique de plus quand on va relever les abscisses et ordonnés des points d'intersection il y aura toujours une marge et l'on revient a notre histoire d'approximation

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Il ne s'agit pas de relever l'abscisse et l'ordonnée avec la règle, mais avec le compas (en construisant un triangle rectangle), puis on reporte la distance ; ainsi, la construction géométrie est exacte.

[Lelouch]

Je vais certainement passer pour l'avocat du diable : et si ton papier n’étais pas millimétré ou du moins sans repère ?
Mais cela reste néanmoins une très belle construction plus analytique que géométrique je n'y avais pas pensé surtout que je me suis obstiné a le résoudre de façon purement géométrique.

[ansset]

j'ai aussi une construction géometrique mais qui passe d'abord par une reflexion analytique .
( désolé , c'est un peu alambiqué )
si a est l'angle BAM.
on voit que AM/AB+MB/AB=sin(a)+cos(a)=sin(a+pi/4)/rac(2)
egal aussi à K/AB d'ou
sin(a+pi/4)=K/ABrac(2).

maintenant on cherche a de façon géométrique.
soit C(A,k) le cercle de centre A et rayon k
et C(A,ab) le cercle de centre A et rayon AB

pour obtenir K/ABrac(2) il faut poser le point d'intersection entre C(A,k) et une droite à 45° puis projeter ce point de manière horizontale sur le cercle C(A,ab) , on trouve ainsi l'angle a+pi/4
on descend ensuite cette droite de pi/4 ( plusieures méthodes ) et on trouve l'angle a.
l'intersection de cette droite avec le cercle de diametre AB donne le point M

on voit aussi que les limites pout K sont
AB<=K<=ABrac(2)