Petite intégrale sympathique (bac)

[invite2b14cd41]

Salut, je ne comprends pas comment résoudre cet exo que j'ai eu dans mon (2e) bac (et qui heureusement n'était noté que sur 1/2 point).
Si et , alors F'(x)= ?
a) cos(x)
b) 1/2*sin(2x)
c) -cos²(x)
d) cos²(x)

La réponse correcte semble être la c) , mais je n'ai pas compris la correction. Au début, j'ai tenté une IPP, puis le changement de variable Y=sin(t) ... évidemment je n'ai pas obtenu de résultat satisfaisant...

J'attends impatiemment une réponse détaillée , SVP
Merci d'avance, pol.

EDIT: quelqu'un sait-il comment enlever le décalage causé par LaTEX ?
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[silk78]

Salut.

On pose g(t)=sqrt(1-t²) et G(t) la primitive de g. Pour x dans [pi/2;pi[, on a sin²x+cos²x=1 et cos(x)<=0 donc cos(x)=-g(sin(x)).
Ici F(x)=G(sin(x)). Donc F'(X)=cos(x)*G'(sin(x))=cos(x) *g(sin(x))=cos(x)*(-cos(x))=-cos²(x).

Voilà,
Silk

[Coincoin]

Salut,
J'appelle la primitive de s'annulant en 0, c'est-à-dire : .
Alors, je vois que . Comme je connais la dérivée de g (par définition) et que ce n'est qu'une fonction composée, je peux dériver...

EDIT Doublé...

[invite2b14cd41]

Merci beaucoup à vous deux, c'est en effet beaucoup plus clair maintenant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

Question supplémentaire: comment calculer F(x) ??

[Coincoin]

L'idée de l'exercice, c'est que c'est une intégrale méchante que tu ne sais pas calculer. Mais ça ne t'empêche pas de faire certaines choses dessus. Le tout est de ne pas foncer tête baissée dans le calcul de l'intégrale.

[Coincoin]

Question supplémentaire: comment calculer F(x) ??

À partir de la dérivée que tu as calculée, et surtout pas de l'expression sous forme d'intégrale.

[invite2b14cd41]

Donc, pour le cas particulier ou x appartient à [pi/2,pi], ce serait:
F(x)=-x/2 -sin(2x)/4
Mais qu'en est-il su cas général ou x est un réel quelconque ? Est-ce une fonction qui n'est pas toujours continue (ou dérivable) , faite d'un "accolement" de plusieurs fonctions définies sur chaque cadran ?