Démonstration de la formule du volume d'un tétraèdre

[invite89e98d85]

bonsoir ,
je voudrais savoir d'où a t on obtenu cette formule du volume d'un tétraèdre :
v = ( Air_base x hauteur) / 3
aidez moi svp !!
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[PA5CAL]

Bonsoir

Cette formule, qui est également valable pour tous les cônes (i.e. à base quelconque), se calcule à l'aide d'une intégrale.



où :
• H est la hauteur du cône
• A(h) est l'aire de la section horizontale à la distance h du sommet (d'où A(H) l'aire de la base).

On a :


Il en résulte :

[invite89e98d85]

MERCI ,
mais j'ai pas étudié l'intégrale , y aurait il un autre moyen pour faire cette démonstration ??

[PA5CAL]

On peut aussi découper le tétraèdre en 17 morceaux, dont il est possible de déterminer plus ou moins directement le volume.

Pour obtenir ces morceaux remarquables, on doit découper le tétraèdre d'abord horizontalement en trois étages de hauteurs identiques, puis verticalement suivant le schéma suivant (vues du dessus) :

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

On remarque que :

- la partie correspondant au 3^ème étage (sommet) présente des dimensions 3 fois plus petites que le tétraèdre dans son entier. Son volume est par conséquent 3³=27 fois plus faible que le volume du tétraèdre V :


- la partie correspondant aux 2^ème et 3^ème étages présente des dimensions 2 fois plus grandes que la partie correspondant au 3^ème étage. Son volume est par conséquent 2³=8 fois plus grand que le volume de cette dernière :


- on retrouve le volume correspondant au 3^ème étage (rouge+orange+crème) au niveau des pointes au 2^ème et au 1^er étage :


- les zones latérales (violet+bleu+vert) au 1^er et 2^ème étage ont des sections verticales identiques. En revanche, elles sont 2 fois plus longues, et par conséquent occupent un volume 2 fois plus grand, au 1^er étage qu'au 2^ème :


- la partie intérieure du 2^ème étage (marron) présente une base dont les dimensions 3 fois plus petites que la base du tétraèdre. Son aire est par conséquent 3²=9 fois plus faible que l'aire de la base du tétraèdre A. Par ailleurs, son épaisseur vaut le tiers de la hauteur H. Son volume est :


- la partie intérieure du 1^er étage (bordeaux) présente une base dont les dimensions 2 fois plus grandes que la partie intérieure du 2^ème étage. Son aire est par conséquent 2²=4 fois plus grande que l'aire de cette dernière. Par ailleurs, son épaisseur vaut le tiers de la hauteur H. Son volume est :


- le volume du 2^ème étage est donné par :


- le volume du 1^er étage est donné par :


- le volume du tétraèdre dans son entier est donné par :

soit encore :
^(a)

- le volume du tétraèdre dans son entier est également donné par :

soit encore :
^(b)

Enfin, de (a) et (b) on déduit (en faisant (b)×9–(a)×8 ) que :

[zyket]

De la pâte à modeler, un fil à couper le beurre pourraient aussi aider à comprendre certaines propriétés des solides.

A partir d'un prisme rectangle en pâte à modeler dont on mesure le volume en le plongeant dans un récipient à parois verticales rempli d'eau (on marque les hauteurs d'eau avant et après immersion totale du prisme. On mesure la hauteur H entre ces deux marques) :

- trancher le prisme une première fois en suivant un plan qui contient une première arête de la base et coupe, n'importe où, la face opposée à la base,
- trancher une seconde fois en suivant un plan qui contient une deuxième arête de la base et coupe, n'importe où, la face opposée à la base,
- trancher une troisième fois en suivant le plan qui contient la troisième arête de la base et coupe la face opposée à l'intersection des deux premiers plans et de la face opposée à la base.

Plonger le tétraèdre obtenu dans le récipient rempli d'eau. On marque les hauteurs d'eau avant et après immersion totale du tétraèdre. On mesure la hauteur h entre ces deux marques.

En théorie h=H/3, en pratique h est très proche de H/3. Conclusion : le volume du tétraèdre est le tiers du volume du prisme dont il est issu. Comme le volume du prisme est V=H x aire de la base, le volume du tétraèdre est v=1/3 x H x aire de la base.

Attention je n'ai pas testé cette expérience. Le passage de : "h=H/3." à " Conclusion : le volume du tétraèdre est le tiers du volume du prisme dont il est issu." n'est peut-être pas évident. Il faut peut-être passer par le volume d'eau déplacé. C'est la répétition de l'expérience qui montrera l'invariance de la formule.

[PA5CAL]

Attention. Le résultat d'une expérience physique ne peut en aucun cas constituer une démonstration exacte.

En adoptant une telle démarche, on pourrait penser démonter que le périmètre d'un cercle est égal à 3 fois son diamètre... en faisant une erreur de seulement 5% dans la mesure ! Mathématiquement, on démontre que le rapport est égal à Pi (=3,1415927...).

[invite89e98d85]

Merci beaucoup
c'est gentil de votre part