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Volume d'un tétraèdre

  1. #1
    JoOoO

    Volume d'un tétraèdre

    Bonjour, voici l'énoncé.
    On considère les points A,B,C et S de coordonnées respectives A(-1,0,1) B(1,4,-1) C(3,-4,-3) S(4,0,4).
    Calculer le volume du tétraèdre SABC.
    J'ai d'abord calculé l'aire de la base ABC.
    A(ABC)=(AB*AC)/2=4V18
    Ensuite je n'arrive pas à calculer la hauteur de SABC comment faire? Merci.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    phys4

    Re : Volume d'un tétraèdre

    Bonjour,
    Parmi les différentes méthodes, il ma semble que l'on peut prendre 1/3 du déterminant de AB, AC, AS.
    Si ce n'est pas dans le programme, il faudra trouver la hauteur en mettant les coordonnées de S dans l'équation du plan ABC.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  4. #3
    Crow

    Re : Volume d'un tétraèdre

    Bonjour,
    Dans un premier temps donnes une équation du plan (ABC).
    On note I le pied de la hauteur issue de S.
    I appartient à (ABC) et AI.IS=0
    Tu as un système de deux équations qui te permet de trouver les coordonnées de I et d'en déduire la longueur IS.

  5. #4
    JoOoO

    Re : Volume d'un tétraèdre

    L'équation du plan (ABC) est: -4x-4z=0
    Avec les coordonnées de S cela donne: -4x4-4x4=-32
    Que faut-il fait ensuite?

  6. #5
    JoOoO

    Re : Volume d'un tétraèdre

    ou sinon on peut calculer la distance entre S et le plan(ABC) pour connaitre la hauteur non?

  7. #6
    Crow

    Re : Volume d'un tétraèdre

    Oui ça revient au même...

  8. #7
    phys4

    Re : Volume d'un tétraèdre

    Citation Envoyé par JoOoO Voir le message
    L'équation du plan (ABC) est: -4x-4z=0
    Avec les coordonnées de S cela donne: -4x4-4x4=-32
    Attention cela ne fonctionne que si l'on normalise avec les coefficients directeurs: coordonnées du vecteur unitaire perpendiculaire au plan:
    (,0,)
    Il suffit ensuite de faire le produit scalaire de ce vecteur avec AS ou OS puisque O fait partie du plan.
    Pour le déterminant, le volume vaut 1/6 du déterminant. Excuses.
    Il faut trouver un volume de 32, quelle que soit la méthode.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  9. #8
    Gjuikh

    Re : Volume d'un tétraèdre

    Citation Envoyé par phys4 Voir le message
    Bonjour,
    Parmi les différentes méthodes, il ma semble que l'on peut prendre 1/3 du déterminant de AB, AC, AS.
    Si ce n'est pas dans le programme, il faudra trouver la hauteur en mettant les coordonnées de S dans l'équation du plan ABC.
    Je pense qu'il s'agit plutôt 1/6 du déterminant (en valeur absolue) de AB, AC, AD = [1/2 x (aire du parallélogramme construit sur AB et AC)] x 1/3 x (la hauteur de D par rapport au plan ABC) = [base] x 1/3 x hauteur, avec les mains...

  10. #9
    GalileoG

    Re : Volume d'un tétraèdre

    c'est pas plutot 1/6 des determinants

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