Arithmétique.

sammy93 · 23/06/2012 - 02h43

Bonjour.
Partie I.
1°.N est un entier naturel non premier et impair.a et b sont deux entiers naturels quelconques avec a>b.On suppose que :a²-b²=N.Montrer que a et b sont de parité différentes.
2°.Montrer que N est le produit de deux entiers p et q.Quelle est leur parité ?
Partie II.
On pose N=250507 et on admet qu'il n'est pas premier.On veut résoudre dans $\mathbb{N^2}$
l'équation a²-250507=b²....(E).
1°.Déterminer les restes du nombre naturel x modulo 9 puis de x² modulo 9.
2°.Sachant que a²-250507=b² ,déterminer les restes de a²-250507 modulo 9 puis en déduire ceux de a².
3°.Montrer que les restes possibles de a modulo 9 sont 1 et 8.

L'exercice étant long,je vous soumets mes premières réponses en espérant votre correction et votre aide.
1°.J'ai supposé a et b pairs donc a²=4k² et b=4k'² donc a²-b²=2(2k²-2k'²) qui est pair.Comme N est impair,on
a une impossibilité.J'ai fait de meme pour les autres cas et seuls les cas (a=2k et b=2k'+1) ou (a=2k+1 et b=2k') sont possibles.
2°.N=a²-b²=(a-b)(a+b).En posant a-b=p car a>b et q=a+b (ou l'inverse) on a bien N=pq avec p et q différents
de 1,sinon N serait premier.Il est facile(je pense) de montrer que p et q sont deux nombres impairs différents de 1.
PartieII.
x=0[9]donc x²=0[9].x=1[9] donc x²=1[9].x=2[9] donc x²=4[9].x=3[9] donc x²=0[9].x=4[9] donc x²=7[9].
x=5[9] donc x²=7[9].x=6[9] donc x²=0[9].x=7[9] donc x²=4[9] .x=8[9] donc x²=1[9].
2°.250507=1[9] donc les restes de a²-250507 ne peuvent etre ,me semble-t-il ,que 0,1,4 ou 7.
a²-250507=0[9] ou a²-250507=1[9] ou a²-250507=4[9] ou a²-250507=7[9].
Là,je bloque.Je sais qu'il faut utiliser les parités de a et b mais je n'arrive pas à en déduire les restes de a² et encore moins ceux de a.
Merci d'avance pour quelques indications.

Tryss · 23/06/2012 - 05h01

Attention, quand tu dis "les restes de a²-250507 ne peuvent etre ,me semble-t-il ,que 0,1,4 ou 7.", il y a erreur, ça ce sont les restes possible de a² !

Tu as oublié de soustraire 1

Les restes possibles de a²-250507 sont donc 0, 3, 6 et 8

Maintenant, quel est le seul reste qui est à la fois le reste de a²-250507 et de x² ?

**Médiat** · 23/06/2012 - 05h10

Bonjour

Envoyé par sammy93

2°.N=a²-b²=(a-b)(a+b).En posant a-b=p car a>b et q=a+b (ou l'inverse) on a bien N=pq avec p et q différents
de 1, sinon N serait premier.

Ce raisonnement est faux, tous les nombres, premiers ou non, peuvent s'écrire N = 1q.
Par exemple 15 = 8² - 7² = (8-7)(8+7).

Par contre on vous dit que N n'est pas premier, il peut donc s'écrire comme le produit de deux entiers différents de 1. Je vous laisse conclure pour la parité.

sammy93 · 24/06/2012 - 01h37

Salut Tryss.
En effet,j'ai commis une faute en pensant à b².
On a donc a²-250507=0[9] ou a²-250507=3[9] ou a²-250507=6[9] ou a-250507=8[9].Le seul reste possible
qui satisfit est 0 donc a²-250507=0[9].On en déduit que a²=1[9] et en nous reportant au tableau des congruences modulo 9 de l'entier naturel x² on a a=1[9] ou a=8[9].
Salut Mediat.
J'ai très mal utilisé la proprité:n est un nombre premier s'il vérifie la condition (une parmi d'autres)

et q étant deux entiers positifs ,si n=pq alors p=1 ou q=1.
N n'est pas premier,on peut donc le décomposer en au moins un produit de deux facteurs ;
N=a²-b²=(a-b)(a+b).On pose a-b=p et comme a>b alors p>0;on pose aussi a+b=q.N=pq.
a et b sont de parité différente;on peut par exemple écrire a=2m+1 et b=2n ce qui nous donne p=a-b=2(m-n)+1 et q=a+b=2(m+n)+1 tous deux impairs.m-n>0 p>1 et q c'est évident est different de 1.
Est-ce correct?
Je vous remercie pour vos réponses.
La question suivante:
On nous demande de déduire que si (a;b) est solution de (E) alors $a\geq{501]$ .
Si (a;b) est solution de (E) alors a²-250507 doit etre positif donc
$a^2\geq{250507}$ d'ou $a\geq{\sqrt{250507}}$ et $a\geq{501}$ .
Merci de corriger.

**Médiat** · 24/06/2012 - 07h06

Bonjour,
Je vous ai donné un contre-exemple, mais vous persistez à refaire la même "démonstration".

Votre erreur est facile à trouver : d'où vient votre affirmation que m-n>0 ?

sammy93 · 25/06/2012 - 02h34

Bonjour Médiat.
J'ai compris mon erreur(enfin,j'espère).
N=(a-b)(a+b).Le produit de deux nombres de parité différente est toujours impair.
Ensuite ,on nous demande de montrer qu'il n'existe aucun couple (501;b) vérifiant (E).
On suppose que (501,b) est solution de (E):
501²-250507=b² donc 494=b² ce qui est impossible, 494 n'étant pas un carré.
3°.On suppose que (a;b) vérifie (E).Montrez que a=503[9] ou a=505[9].
On sait que a=1[9] ou a=8[9].
On a 504=0[9] ou 0=504[9].On ajoute membre à membre et a=505[9].
On a aussi 0=495[9].On ajoute membre à membre et a=503[9].
La dernière question:
Déterminer la plus petite valeur k pour que le couple (505+9k;b) soit solution de (E).
J'ai pris k=0 qui n'a rien donné.
Si k=1 alors 514²-250507=117² qui vérifie bien (E).Le couple (514;117) est solution de (E) pour la plus petite
valeur de k=1.
Merci pour votre correction et,s'il vous plait,me donner quelques indications.

**Médiat** · 25/06/2012 - 04h27

Envoyé par sammy93

Le produit de deux nombres de parité différente est toujours impair.

Donc, d'après vous, 2*3=6 est impair ?

sammy93 · 26/06/2012 - 01h44

Salut Mediat.
Je me suis aperçu,trop tard,que j'avais écrit une énormité.Je vous prie de m' excuser.
Comme a et b sont de parité différente,on a a=2k+1 et b=2k'.La somme p et la différence q de ces deux nombres est un nombre impair.
a+b=(2k)+(2k'+1)=2(k+k')+1 est impair.
a-b=2(k-k')+1 est impair.
C'est la meme démonstration pour a=2k et b=2k'+1 .
Le nombre N ,produit de deux nombres impairs est un nombre impair.
$N=[2(k-k')+1][2(k+k')+1]=2[2k^2-2k'^2+2k]+1$ .On sait que a>b donc 2k>2k'-1 et $k-k'\gt{-\frac{1}{2}}$ donc $k-k'\geq{0}$ $k\geq{k'}$ .N est est bien un entier positif.
Voilà,j'espère surtout n'avoir pas commis d'autres fautes.
Je vous prie,si vous le voulez bien, corriger cette question ainsi que les autres.Merci.

**Médiat** · 26/06/2012 - 06h36

La question est :

Montrer que N est le produit de deux entiers p et q. Quelle est leur parité ?

Où N est un nombre non premier impair.
N = 1q, ceci suffit à montrer que N est le produit de deux entiers (il n'est pas utile de faire intervenir a ou b).
Si on veut que les deux entiers soient différents de 1, il suffit de rappeler que N n'est pas premier, donc, par définition N = pq, avec p et q différents de 1.

Pour la parité, il suffit de dire que le produit d'un nombre pair par n'importe quel entier est pair : (2m)n=2(mn).