[Devoir maison] 1ère S : Fonctions de second degré.

[invitef120c56e]

Bonjour à toutes et tous,

J'ai un devoir maison à faire pour Jeudi prochain, j'ai dû le faire à l'avance pour vérifier si il y avait quelques surprises ! En effet, je tombe sur quelques questions que je n'ai pas compris !

Je vous cite l'énoncé :

Exercice 1 :

Soient f et g les fonctions définies sur R par : f(x) = x² - 4x - 5 et g(x) = -2x² + 4x - 2

1. Déterminer la forme canonique puis factorisée de f(x)
2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre Cf et les axes du repère.
3. Déterminer la forme canonique puis factorisée de g(x).
4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection entre Cg et les axes du repère.
5. Dresser le tableau de variations de f puis de g.
6. En justifiant, donner l'allure de Cf puis de Cg.
7. On note delta fg la fonction delta fg(x) = f(x) - g(x)
a. Exprimer delta fg(x) en fonction de x
b. Factoriser delta fg(x).
c. Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de Cf et Cg.
d. Etudier la position relative entre les deux courbes Cf et Cg.

Passons aux réponses que j'ai pu trouver :

1.f(x) = x² - 4x - 5
Pour déterminer la forme canonique, il faut trouver alpha et bêta
Pour alpha = -b/2a = 4/2*1 = 2
On a donc alpha = 2
Pour bêta, f(2) = 2² -4*2 - 5
f(2) = -9

Donc le sommet est de S (2 ; -9)
La forme canonique de f(x) est de : (x-2)² - 9

Ensuite passons à la factorisation, on utilise le discriminant :
delta = b² - 4ac
delta = (-4)² - 4*1*(-5)
delta = 16 + 20
delta = 36

Comme delta > 0, l'équation admet deux racines distinctes :

x₁= 4 + racine de 36 / 2*1
x₁= 5

Ensuite pour x₂= 4 - racine de 36 / 2*1
x₂= -1

On en déduit que la forme factorisée de f(x) = 1(x-5)(x+1)

2. Pour cette question je n'ai pas trouvé, je me demandais si c'était les coordonnées qui vérifient l'équation.. mais quelles coordonnées ?

3. Pour g(x) la forme canonique que j'ai trouvé est de -2 (x-1)²

Et pour la forme factorisée de g(x) est de -2(x-1)²

4. Même remarque qu'à la question 2.

5. Pour f(x), la fonction croît de - infini à 2 et décroît de 2 à + infini
Pour g(x), la fonction croît de - infini à 1 et décroît de 1 à plus infini.

6. J'ai donné l'allure sur ma feuille, je ne peux pas la dessiner ici.

Pour le reste de la question, je ne trouve pas, merci de m'aider, j'ai pourtant recherché, dois-je faire appel à mes connaissances, des formules vues ?
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[Aeres]

Salut étant moi même en 1S et m'ennuyant un peu en cours (on a pas encore fini un chapitre sur les polynômes) , j'ai fait une partie du DM pour m'exercer et à priori je trouve les mêmes résultats :

Forme canonique de & Forme canonique de avec

Idem pour la factorisation et le discriminant , j'ai les mêmes résultats.

Pour ce qu'il en est de la question 2) , tu as le choix entre 2 méthodes : un tableau de signe avec la forme factorisé ou 2 calculs + des explications.

Pour la question 6) , soit tu justifies avec le minimum donc un calcul ou bien avec une démonstration assez courte en utilisant le théorème de rangement.

[diyaa96]

Tu n'es pas en premiere s a averroes ?

[invitef120c56e]

Je n'ai pas très bien compris la question n°2, pourquoi faire un tableau de signe ?
La question 6 suffisait juste de tracer l'allure..

Oui diyaa66 , je suis en 1ère S au lycée Avèrroès à Lille, et qui es-tu ? ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[diyaa96]

mdr on est dans la meme classe alors

[L-etudiant]

Salut,

si cela peut aider pour la question 2, les axes du repere ont pour équation : x = 0 et y = 0.

@+

[invitef120c56e]

L-etudiant, merci de m'avoir élucidé, il faut donc que je résouds l'équation f(x) = 0 ? Où bien il faut que les coordonnées (0 ; 0) vérifient l'équation ?

Diyaa, comment tu t'appelles ?

[L-etudiant]

Y'a deux equations a "resoudre".
Il y a en effet f(x) = 0 (intersection f(x) et y=0, geometriquement : C_f et l'axe des abscisses).

Et l'autre c'est en C_f et l'axe des ordonnées, ce qui est nettement plus simple.

[invitef120c56e]

Ok, je tâcherai d'y résoudre cette équation et je vous mets au courant dès demain, merci !

[diyaa96]

et toi c comment ?

[invitef120c56e]

J'suis Abderahmane Benaissa et toi ? ^^

[invitef120c56e]

Excusez-moi pour ce long retard, j'ai pu résoudre la question 2 et 4. Merci.
Je n'ai pas très bien compris la question 7 a) b) c) et d)
Pourriez-vous m'éclairer ?

[L-etudiant]

Salut,

7a. tout simplement ecris f(x) - g(x).
7b. factorise ce que tu as trouvé en a.
7c. les points d'intersections de C_f et C_g sont quand ? Que cela implique-t-il pour D(f ; g) ?
7d. en gros quand est-ce que D(f ; g) < 0 et D(f ; g) > 0 ? Et du coup qui est au dessus de qui ?

[invitef120c56e]

7.a f(x) - g(x) équivaut à dire : x²-4x-5-2x²+4x-2 = -x²-7 ?

7.b x²-4x-5-2x²+4x-2
-x²-7
Le discriminant delta = b²-4ac = 0²-4x1x(-7) = 28, comme delta est positif, on a deux solutions (racines) distinctes :
x[sub]1[sub] = -b+ racine de delta / 2a = 0 + racine de 28 / 2x1 = racine de 28 / 2
x[sub]2[sub] = -b- racine de delta / 2a = 0 - racine de 28 / 2 = - racine de 28 / 2

Est ce les bonnes réponses ?

7.c Graphiquement (à la calculatrice), nous avons deux solutions pour C_f et C_g (3 ; -8) et (? ; ?), faut t'il faire un calcul pour retrouver tout ça ? Une formule ?

7.d Pour cela il faut exprimer ]-infini ; x[U]x +infini[ ?

Merci de m'avoir fait avancer.

[L-etudiant]

Pff...

Faut faire gaffe quand meme :

7a. C'est faux ! Déjà "ca équivaut" pas c'est égale, encore que la ca l'est pas... Attention au vocabulaire...
7b. J'ai pas verifié puisque le polynome est faux.
7c. Bah bien sur !! Graphiquement cela suffit amplement ! Bien sur que oui il faut faire le calcul, en plus ca prend trois lignes... Et puis le point d'intersection (? ; ?) ca fait bien dans une copie...
En plus, vous n'avez pas repondu a mes questions (7c. les points d'intersections de C_f et C_g sont quand ? Que cela implique-t-il pour D(f ; g) ?).
7d. Je vois meme pas de quoi vous parlez...

En somme reprenez les calculs lentement, développez ecrivez les débilités (perso, quand y'a des moins et tout, je prefere perde un peu de temps a tout ecrire que de faire les calculs de tete et me planté...). Et repostez.

[invitef120c56e]

Pour le 7.a, il fallait juste exprimer f(x) - g(x) ?
7.b Il fallait qu'on ait un polynôme de second degré ? x²-7 n'est pas ce qu'on attendait ?
7.c Je ne vois vraiment pas le calcul qu'il faut faire pour déterminer les points d'intersections de Cf et Cg..

Je vous répondrais détaillement dès demain. Merci encore de ton aide si précieuse.

[L-etudiant]

7a. Il demande rien de plus...
7b. Vous verrez bien en repondant a la 7a ^^
Indice supplementaire : quel peut etre le rapport avec la fonction D(f ; g) ? C'est surement pas anodin qu'elle soit dans cette partie... Faites un dessin avec n'importe quelles fonctions, on s'en fout, et regardez la différence et ce qui se passe aux points d'intersections. Ou alors, faites le maniere algébrique ecrivez ce que cela signifie etre point d'intersection... (c'est une autre maniere).

@+

[invitef120c56e]

Bonjour,

7.a f(x) - g(x)
--- > (x²-4x-5)-(-2x²+4x-2)
--- > 3x²-8x-3

7.b Pour factoriser le trinôme 3x² - 8x - 3 , on recherche son discriminant

-> delta = b² - 4ac
-> delta = (-8)² - 4x3x(-3)
-> delta = 100 Comme delta > 0 , l'équation admet deux racines distinctes :

x₁ = 8 + racine de 100 / 2*3 = 18/6 = 3.
x₂ = 8 - racine de 100 / 2*3 = -2/6 = -1/3.

La forme factorisée de f(x) = 3(x-3) ( x+ (1/3) ), par contre est-il possible de retirer la fraction en distribuant le 3 dans (x + 1/3) ce qui donnera comme résultat : f(x) = (x-3)(3x+1)


7.c Il faut que C_f = C_g
---> x² -4x -5 = -2x² + 4x - 2
---> 2x² + x² -4x - 4x -5 + 2
---> 3x² - 8x -3 = 0

f(x) - g(x) = 0
delta_fg= 0

Comme on trouve que delta_fg a pour solutions x₁ = 3 et x₂ = -1/3
La courbe de f et la courbe de g se coupent donc (3 ; f(3)) et (-1/3 ; f(-1/3))
On calcule les coordonnées : (3 ; -8) et (-1/3 ; -32/9) NB : j'ai déjà calculé, pas besoin de tout remettre ici.

Maintenant appliquons la règle des coordonnées qui vérifient l'équation :
f(-1/3) = (-1/3)² - 4*(-1/3) - 5
f(-1/3) = 1/9 + 4/3 - 5/1
f(-1/3) = 1/9 + 12/9 - 45/9
f(-1/3) = -32/9

7.d Nous allons faire un tableau de signe :

(x-3) = 0 et 3x+1 = 0
x = 3 et x = -1/3

(Le tableau de signe , je ne peux pas la reproduire ici).

Donc je pense que c'est tout, merci de bien prêter l'attention à mon message, ce DM est pour demain.

[L-etudiant]

Salut,

ha bah ! C'est mieux la, non ?

Pour a et b, on est d'accord ! Par contre pour distribuer le 3, je vois rien contre, c'est juste que l'autre forme fait bien apparaitre la forme factoriser. Ou alors, écrire D(f ; g)(x) = 3(x-3) ( x+ (1/3) ) = (x-3)(3x+1). D'ailleurs attention c'est D(f ; g) pas f...

Par contre 7c, ca veut rien dire !! C'est bon mais tres mal dit. Dis plutot que les points d'intersections sont quand D(f ; g) s'annule. Or tu as calculé les zeros de cette fonctions juste avant... Et que donc les points d'intersections sont (x_1 ; f(x_1)) et (x_2 ; f(x_2)).

Je te laisse rediger un peu mieux...

Et pour la position relative, je suppose que c'est bon ?

[invitef120c56e]

Salut à toi,

Oui, donc pour le a et b c'est bon. Et merci j'allais oublier à propos de D(f ; g)..
A propos de 7.c, pour toi c'est très mal dit ? J'ai mis C_f = C_g ce qui signifie que les points d'intersections sont là au moment où les deux courbes se croisent, on peut dire = ?
D'accord à propos des points d'intersections qui sont (x_1 ; f(x_1)) et (x_2 ; f(x_2))
Pour la position relative, oui si il faut faire uniquement un tableau de signe, je pense que effectivement c'est bon.

Merci infiniment pour ton aide !

[L-etudiant]

On peut dire que C_f = C_g mais ce sont des ensembles... pas des equations.

Par exemple :



Donc enchainé sur une équation apres c'est pas top.