DNS Suites adjacentes

[ouuf]

Bonjour à tous !
J'ai un DNS à faire et il y a une partie d'un exercice que je n'arrive pas à faire :
Soient les suites (un) et (vn) définies par :
vn=1/n+(1/(n+1))+(1/(n+2))+(1/(n+3))+....+(1/(n+(n-1)))
un=1/(n+1)+(1/(n+2))+(1/(n+3))+...+(1/(n+n))

1. Calculer u3 (je trouve37/60)
2.a)Démontrer que pour tout entier n on a vn+1-vn=1/2n+1-1/2n et un+1-un=1/2n+1-1/2n+2 et vn-un=1/2n
b) En déduire que ces deux suites convergent vers la même limite l.

Pour tout entier on a un "strictement inférieur à"l "qui est lui même strictement inférieurs à "un+1/2n

3. Démontrer que u3+1/12 est une valeur approchée de l à 0.1 près.
4. Construire un algorithme permettant de donner une valeur approchée de la limite à 10-p près, la valeur de p étant donnée par l'utilisateur.
Programmer sur la calculatrice ce programme et donner une valeur approchée de l à 10-5 près.

Merci de me lire et encore plus de m'aider !
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[ouuf]

J'ai déjà prouvé que vn+1-vn = 1/(2n+1)-(1/(2n))

[melielalarve]

C'est a partir de quelle question que tu bloques?

[ouuf]

En fait, je n'arrive pas à trouver à quoi vn et vn+1 sont égaux.
Du coup je suis bloqué.

[A voir en vidéo sur Futura]

[numpo]

Bonjour
Pourquoi cherches-tu à prouver que vn et vn+1 sont égaux? ce n'est pas demandé, non ?

[ouuf]

Je me suis mal exprimé :
En fait, pour faire la somme je dois trouver à quoi est égal un+1 et à quoi est égal un

[ouuf]

Je me suis mal exprimé :
En fait, pour faire la somme je dois trouver à quoi est égal un+1 et à quoi est égal un

[numpo]

Mais ce n'est pas non plus demandé !
Tu dois calculer vn+1-vn et un+1-un, et je te garantis qu'en maths nous n'avons pas de formule pour calculer une somme de suite de type 1/n+(1/(n+1))+(1/(n+2))+(1/(n+3))+....
En revanche vn+1-vn tu peux facilement le calculer par télescopage. De même pour un+1-un. Ne t'embête pas a calculer vn+1 et vn séparément !

[ouuf]

Mais comment fais-tu par télescopage, je ne m'en suis jamais servi et je ne sais pas ce qu c'est

[numpo]

Bon, j'te fais vn+1-vn pour t'expliquer (pour écrire vn+1 j'ai remplacé n par n+1 dans l'écriture de vn)
vn+1-vn = (1/(n+1))+(1/(n+2))+(1/(n+3))+....+(1/((n+1)+(n+1-1))) - [ 1/n+(1/(n+1))+(1/(n+2))+(1/(n+3))+....+(1/(n+(n-1))) ]
= (1/(n+1))+(1/(n+2))+(1/(n+3))+....+(1/(2n-1))+(1/(2n))+(1/(2n+1)) - 1/n-(1/(n+1))-(1/(n+2))-(1/(n+3))-....-(1/(2n-1))
Tu peux voir qu'il y a des termes qui s'annulent entre eux
par exemple j'ai souligné deux termes qui s'annulent, puis en gras 2 autres termes qui s'annulent, puis en italique, 2 autre termes qui s'annulent et ainsi de suite.
Au finale tu conclus que vn+1-vn = 1/(2n) + 1/(2n+1) - 1/n (car ce sont les 3 termes qui restent : cette méthode s'appelle télescopage)
= 1/(2n+1) + 1/(2n) - 2/(2n) = 1/(2n+1) - 1/(2n)

[ouuf]

J'ai trouvé les deux merci à toi !

[numpo]

De rien

[ouuf]

Dernier coup de pouce pour l'algorithme.
Je sais que je dois commencer par :
Prompt P
U1->A
V1->B
1->N

Ensuite il doit y avoir une condition pour (B-A) mais je ne trouve pas

[numpo]

Je suis sincèrement désolé, je n'y connais rien en algo...