[Géométrie] Trouver les sommets d'un quadrilatère

[Mozz78]

Bonjour,

Voilà le problème, que je vais essayer d'exposer le plus clairement possible. Ce n'est pas vraiment un problème de géométrie qu'on pourrait poser à un lycéen mais ça utilise des notions de géométrie du lycée, donc je le poste dans la catégorie Lycée.

Problème 1 :
Soit (F) un quadrilatère quelconque.
Soit A et B deux sommets distincts quelconques de ce quadrilatère.
Montrer que le point C qui maximise [distance(C, A) + distance(C, B)] est un sommet de (F)

Problème 1 bis (très similaire) :
Soit (F) un quadrilatère quelconque.
Soit A, B et C trois sommets distincts quelconques de ce quadrilatère.
Montrer que le point D qui maximise [distance(D, A) + distance(D, B) + distance(D, C)] est le quatrième sommet de (F)

Je suis également preneur si vous avez un contre-exemple (notamment pour le problème 1 bis), mais je ne pense pas que ça existe. La propriété m'a l'air toujours vraie.
Si ça se trouve, ce dont je parle est une propriété archi-connue des quadrilatères (ou polygones en général), et si c'est le cas, même le nom du théorème m'intéresse.

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider !
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[Seirios]

Bonjour,

Il doit manquer une hypothèse : l'expression distance(C, A) + distance(C, B) n'admet pas de maximum si C est un point quelconque. Doit-on considérer que C est sur la quadrilatère ?

[Mozz78]

Oups, je vais éditer le post de départ pour préciser qu'effectivement, le point C doit appartenir à (F).

Merci pour la remarque.

EDIT : Comme je ne peux plus éditer mon post de départ, je remets ici le problème modifié :

Problème 1 :
Soit (F) un quadrilatère quelconque.
Soit A et B deux sommets distincts quelconques de ce quadrilatère.
Montrer que le point C appartenant à (F) qui maximise [distance(C, A) + distance(C, B)] est un sommet de (F)

Problème 1 bis (très similaire) :
Soit (F) un quadrilatère quelconque.
Soit A, B et C trois sommets distincts quelconques de ce quadrilatère.
Montrer que le point D appartenant à (F) qui maximise [distance(D, A) + distance(D, B) + distance(D, C)] est le quatrième sommet de (F)

[Seirios]

Un contre-exemple au problème 1 : Considérons le quadrilatère ABQP avec P=(0,0), Q=(2,0), A=(-1,2) et B=(3,2). Alors le point qui maximise ton expression est C=(1,0) qui n'est pas un sommet du quadrilatère.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Un contre-exemple au problème 1 bis si le quadrilatère n'est pas supposé convexe : Soit le quadrilatère ABCD avec A=(0,0), B=(8,0), C=(8,-8) et D=(7,-1). Alors ton expression pour D vaut et celle pour A vaut .

[Mozz78]

Merci pour la réponse. Mais je n'obtiens pas ces résultats quand je refais les calculs.

Un contre-exemple au problème 1 : Considérons le quadrilatère ABQP avec P=(0,0), Q=(2,0), A=(-1,2) et B=(3,2). Alors le point qui maximise ton expression est C=(1,0) qui n'est pas un sommet du quadrilatère.

Pour le point C -> distance(C, A) + distance(C, B) = = 5.66
Pour le point Q -> distance(Q, A) + distance(Q, B) = = 5.84
Ce n'est donc pas C qui maximise la distance à A + la distance à B.

Un contre-exemple au problème 1 bis si le quadrilatère n'est pas supposé convexe : Soit le quadrilatère ABCD avec A=(0,0), B=(8,0), C=(8,-8) et D=(7,-1). Alors ton expression pour D vaut et celle pour A vaut .

Pour le point A -> distance(A, A) + distance (A, B) + distance(A, C) = = 14.14
Pour le point D -> distance(D, A) + distance (D, B) + distance(D, C) = = 17.54
Ce n'est pas le point A qui maximise la distance à A + la distance à B + la distance à C.

[Seirios]

Pour le point C -> distance(C, A) + distance(C, B) = = 5.66
Pour le point Q -> distance(Q, A) + distance(Q, B) = = 5.84
Ce n'est donc pas C qui maximise la distance à A + la distance à B.

Je suis d'accord, j'ai fait une erreur de calcul.

Pour le point A -> distance(A, A) + distance (A, B) + distance(A, C) = = 14.14
Pour le point D -> distance(D, A) + distance (D, B) + distance(D, C) = = 17.54
Ce n'est pas le point A qui maximise la distance à A + la distance à B + la distance à C.

Là je ne suis pas d'accord : et pour la deuxième expression, je trouve à la place de (la situation est symétrique pour d(D,A) et d(D,C)).

Sinon, je pense avoir trouvé une preuve pour ce problème dans le cas où le quadrilatère est convexe.

[Mozz78]

Là je ne suis pas d'accord : et pour la deuxième expression, je trouve à la place de (la situation est symétrique pour d(D,A) et d(D,C)).

Sinon, je pense avoir trouvé une preuve pour ce problème dans le cas où le quadrilatère est convexe.

Ah oui effectivement, je m'étais trompé quand j'avais tracé la figure sur papier, ce qui a entraîné ensuite des erreurs dans le calcul des distances.

Merci pour le contre-exemple alors ! Ça va m'aider.

Sinon, pour le problème 1, il me semble que les "lignes de niveau" dont tous les points C ont une [distance(C, A) + distance(C, B)] égale, sont des ellipses dont les foyers sont A et B.
Du coup, le point C qui maximise [distance(C, A) + distance(C, B)] se trouve à l'intersection entre (F) et l'ellipse (de foyers A et B) la plus grande possible. La démonstration n'est pas très rigoureuse mais ce point d'intersection est clairement un sommet de (F).

[Seirios]

Pour le problème 1 bis :

Soient ABCD un quadrilatère convexe et f la fonction définie par f(X)=d(X,A)+d(X,B)+d(X,C). Montrons que f atteint son maximum sur ABCD en D.

Soit E un point de l'arête [C,D]. Alors f(E)=ED+EA+EB=CD-ED+EA+EB. Par l'inégalité triangulaire, d'où . Or la convexité du quadrilatère implique que , donc

On raisonne de la même manière si E est sur l'arête [A,D]. Si E est sur l'arête [A,B], par un argument symétrique au précédent, on trouve que , puis l'argument précédent donne soit au final . Enfin, si E est sur l'arête [B,C], on raisonne de même pour prouver que .

Ainsi, f atteint bien son maximum en D.

[Seirios]

Sinon, pour le problème 1, il me semble que les "lignes de niveau" dont tous les points C ont une [distance(C, A) + distance(C, B)] égale, sont des ellipses dont les foyers sont A et B.
Du coup, le point C qui maximise [distance(C, A) + distance(C, B)] se trouve à l'intersection entre (F) et l'ellipse (de foyers A et B) la plus grande possible. La démonstration n'est pas très rigoureuse mais ce point d'intersection est clairement un sommet de (F).

Pour améliorer l'argument, on peut dire que l'intersection d'une ellipse (non dégénérée) et d'un segment est soit vide, soit réduite à un point, soit la réunion de deux points. Soit r la plus grande valeur telle que l'ellipse définie ait une intersection non vide avec le segment [C,D] du quadrilatère ABCD (on peut montrer que cette valeur existe par un petit raisonnement de topologie). Si cette intersection contient deux points, alors ce sont nécessairement les deux extrémités C et D. Si cette intersection est réduite à un point, deux cas se présentent : soit [C,D] est tangent à l'ellipse, ce qui est impossible puisqu'alors D et C seraient à l'extérieur de l'ellipse (à cause de la convexité stricte de l'ellipse pleine) et r ne serait pas la valeur maximale ; soit [C,D] traverse l'ellipse, et alors clairement le point intersection est l'une des extrémités C et D.

Donc ici la convexité du quadrilatère n'est pas importante, contrairement au second problème.

[Mozz78]

Pour le problème 1 bis :

Soient ABCD un quadrilatère convexe et f la fonction définie par f(X)=d(X,A)+d(X,B)+d(X,C). Montrons que f atteint son maximum sur ABCD en D.

Soit E un point de l'arête [C,D]. Alors f(E)=ED+EA+EB=CD-ED+EA+EB. Par l'inégalité triangulaire, d'où . Or la convexité du quadrilatère implique que , donc

On raisonne de la même manière si E est sur l'arête [A,D]. Si E est sur l'arête [A,B], par un argument symétrique au précédent, on trouve que , puis l'argument précédent donne soit au final . Enfin, si E est sur l'arête [B,C], on raisonne de même pour prouver que .

Ainsi, f atteint bien son maximum en D.

Merci beaucoup pour la démonstration.
Je me doutais qu'il serait question d'inégalités triangulaires, mais je n'avais pas creusé assez.

Du coup, je considère mon problème comme résolu, merci encore !