[Géométrie] Cercle inscrit dans un quadrilatère

[Infophile]

Bonjour

Nous sommes plusieurs à chercher le problème suivant, alors autant vous en faire profiter

Un cercle de rayon r est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Il touche [AB] au point P et [CD] au point Q. On a AP=19, PB=26, CQ=37 et QD=23. Trouver r.

[Guillaume.B]

Indices : (IC) est la bissectrice de ^C, (IB) est la bissectrice de ^B, (IA) est la bissectrice de ^A et (ID) est la bissectrice de ^D ; la somme des angles dans un quadrilatère veut 360° ; utilisation des propriétés des triangles semblables ?

Je pense que c'est un début, j'essayee de trouver la solution

[Guillaume.B]

En fait, je crois qu'on en a pas besoin, j'ai trouvé quelque chose, je n'ai aps le temps de vraiment vérifier, j'ai d'autres devoirs à faire, mais je la poste quand même, histoire qu'on me corrige si cela est faux.

Dans le triangle rectangle IQC, d'après la loi des sinus on a :



Or l'angle C est un angle droit, donc sin C = 1. On a alors :







Ca sent la solution fausse, mais bon ...

[Guillaume.B]

Héhé, mince c'est faux en effet, vu que IQC n'est pas cirsonscrit au cercle ...

[Guillaume.B]

J'ai trouvé une autre méthode, je pense que cette fois-çi c'est la bonne. J'ai utilisé la formule dite de Brahmagupta, qui est une généralisation de la formule de Héron, visant à calculer l'aire d'un quadrilatère convexe en ne connaissant que ses 4 côtés.



où

Soit A l'aire du quadrilatère BADC avec BA = 45, AD = 42, DC = 60, BC = 63 et p = 105, on a alors :



Posons maintenant A(1), A(2), A(3) et A(4) les aires des quadrilatères respectifs CFIQ, DQIE, EIPA et PBFI on a alors :



De la même manière on a A(2) = 23r, A(3) = 19r et A(4) = 26r.

Or,

A = A(1) + A(2) + A(3) + A(4) <=> <=>

Donc

[Infophile]

Salut Guillaume

Cette formule ne s'applique-t-elle pas uniquement si les sommets du quadrilatère sont alignés sur un cercle ? Car j'avais pensé à l'utiliser aussi.

Sinon ehlor a trouvé la réponse sur l'ile (qui s'approche de la tienne) en utilisant une formule que je ne connaissais pas.

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-120559.html#fin

[Guillaume.B]

Ahh, moi je trouve ça doit être bon avec cette formule, j'dois avoir mal calculé quelque chose pour avoir un écart d'une unité avec ehlor ^^

[Infophile]

Fractal > Mais tu es sûr qu'on peut appliquer ta formule pour un quadrilatère convexe quelconque ?

Car imagine un losange que l'on applatirait, la longueur des côtés resterait la même mais quant à l'aire...

[Jeanpaul]

La formule de Brahmagupta ne s'applique que si les 4 sommets sont sur un cercle, ce qui l'empêche de s'écraser. Pas de raison que ça s'applique ici.

[Infophile]

Bonsoir Jean Paul et merci d'avoir confirmé

Merci aussi à Guillaume de s'être intéressé au problème

[Jeanpaul]

Plus je regarde cet exo plus il me paraît bizarre.
Intuitivement, j'ai l'impression que si on prend un quadrilatère déformable, le plus souvent il n'y a pas de cercle inscrit, il faut un cas bien particulier pour qu'un cercle touche les 4 côtés.
Ici, en plus, on impose avec précision les positions des points de contact. Il faut que les mesures aient été soigneusement sélectionnées pour que ça marche.
En bref, je pense qu'il y a trop de données.

[Infophile]

Bonjour Jean Paul

L'énoncé ne précisait pas que les sommets du quadrilatère se situaient sur un cercle. Vous pouvez allez voir sur le lien que j'ai donné hier, une personne y apporte une réponse sans avoir recours à la dite formule.

[Guillaume.B]

Intuitivement, j'ai l'impression que si on prend un quadrilatère déformable, le plus souvent il n'y a pas de cercle inscrit, il faut un cas bien particulier pour qu'un cercle touche les 4 côtés.

Exact, ce genre de quadrilatère est appelé "quadrilatère circonscriptible", quand les côtés de celui-çi sont tangents à un même cercle. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel quadrilatère ABCD convexe soit circonscriptible est qu'il faut que ses côtés vérifient la relation : AB + CD = AD + BC

[Jeanpaul]

Je découvre là, c'est intéressant, je vais essayer d'en savoir plus sur la démonstration.

[Guillaume.B]

Pas besoin, je vous la fournie, elle est tirée d'un de mes bouquins "Les olympiades de mathématiques : réflexes et stratégies" de Soualmi Tarik (en pièce jointe)