Démonstration d'une limite de suite

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 16h55

Bonjour, c'est encore moi!

Je bloque cette fois sur une démonstration (...encore!) de limite de suite, la voici :

"On définit une suite récurrente $\text{[math]}$ en posant $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

-Montre que cette suite est convergente et qu'elle converge (vers 2)."

J'ai déjà trouvé la limite et commencé la démonstration mais je bloque :

On remarque déjà que $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Ceci nous dit que si la limite existe, elle doit être plus grande que 1. Essayons maintenant de trouver un candidat $\text{[math]}$ . Si on fait tendre $\text{[math]}$ vers l'infini dans la formule de récurrence, on obtient $\text{[math]}$ . Donc, $\text{[math]}$ {0;2}. Si la limite existe, elle doit être 2 car 0<1<2.

Montrons que 2 est la limite : on a

$\text{[math]}$ .

Et c'est là que je bloque...

On veut donc démontrer que $\text{[math]}$ . On avait fait il y a un certain temps un exemple en cours, mais celui-ci, quand on passait de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , la valeur descendait grâce à une majoration, mais je ne vois pas comment expliquer pour cette suite qu'on arrive à un rang $\text{[math]}$ tel que le rang $\text{[math]}$ est inférieur à $\text{[math]}$ . J'ai procédé de deux manières :

# $\text{[math]}$ . On itère et on trouve : $\text{[math]}$ . Mais alors quand n tend vers l'infini, l'expression $\text{[math]}$ tend vers l'infini, donc est plus grand que $\text{[math]}$ , gros problème.

# $\text{[math]}$ . On itère et on trouve :
$\text{[math]}$ , mais là, j'ai l'impression que je m'embarque dans un truc compliqué et absurde...

Auriez-vous des conseils, des astuces s'il vous plaît? Merci beaucoup!

Cet exercice a une suite, je la mets déjà :

"On définit aussi les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ".

- Calcule $\text{[math]}$ .

- Calcule $\text{[math]}$ .

- Peut-on prolonger f et g par continuité? Admettent-ils une asymptote verticale en 2, à droite ou à gauche?

J'ai déjà déduit pour les deux premiers points qu'on cherche $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Mais après évidemment, si on essaie f(2) et g(2), on tombe respectivement sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Et je ne sais pas comment procéder...

Pour le troisième point, première partie, on peut prolonger f par continuité par la fonction h :

$\text{[math]}$ .

(Parce que $\text{[math]}$ ).

Par contre on ne peut pas prolonger $\text{[math]}$ par continuité car $\text{[math]}$ .

(J'utilise les résultats à prouver dans les deux premiers points.)

Pour la deuxième partie :

$\text{[math]}$ : NON : comme vu précédemment, $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ : OUI : comme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ admet une asymptote verticale en $\text{[math]}$ .

Voilà! Merci de m'avoir lu, si vous avez eu le courage de tout lire ^^.

Merci énormément de votre aide, je vous suis très reconnaissant !

Cordialement,

Brazeor

**jamo** · 17/03/2013, 17h13

Bonjour
comment as tu démontré la convergence d'xn ?

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 17h19

Bonjour jamo!

Eh bien je démontre la convergence de la seule manière qui nous est apprise dans notre cours : montrer que $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

Avez-vous des remarques/conseils/suggestions?

**jamo** · 17/03/2013, 17h21

en majorant (res minorant) et en étudiant la monotonie de la suite . dans ce cas ,la limite existe et vérifie l=sqrt(2l)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 17h24

Oui, mais comment?

Pourriez-vous donner plus de détails, s'il vous plaît? Merci!

**jamo** · 17/03/2013, 17h26

trouver le signe de xn+1-xn pour la monotonie .

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 17h37

Euh... Je ne comprends pas très bien où vous voulez en venir... Mais certes,

$\text{[math]}$ ...

Et ensuite? Je ne vois pas où cela mène...

**jamo** · 17/03/2013, 17h43

xn+1-xn=sqrt(2xn)-xn
multiplier par l'expression conjuguée
d'autre part 0<xn

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 19h11

Ah d'accord! J'ai mal opéré!

Je reprends donc :

$\text{[math]}$ .

Je crois y être arrivé! Mais je ne comprends pas ce que cela explique, qu'est-ce que cela apporte au raisonnement... Pourriez-vous m'expliquer?

Merci !

**PlaneteF** · 17/03/2013, 19h38

Bonsoir,

Envoyé par The_Anonymous

$\text{[math]}$ .

Il y a une petite erreur de signe au dénominateur.

Envoyé par The_Anonymous

Je crois y être arrivé! Mais je ne comprends pas ce que cela explique, qu'est-ce que cela apporte au raisonnement... Pourriez-vous m'expliquer?

En fait jamo ^(*) te propose d'utiliser le théorème suivant : "Une suite croissante et majorée est convergente".

Le mieux c'est de montrer en premier que la suite est majorée, et ensuite tu verras immédiatement que si tu as choisi le majorant ad hoc, alors la quantité $\text{[math]}$ est strictement positive.

^(*) Hi there!

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 19h45

Oui, excusez-moi, on arrive bien à $\text{[math]}$ .

Ah d'accord! Je comprends maintenant le sens de la démarche! Il est vrai que j'ai vu ce Théorème, autant l'utiliser!

Je comprends le fait que si on prouve $\text{[math]}$ alors on saura que $\text{[math]}$ est croissante.

Par contre, je ne vois pas du tout quel majorant on pourrait utiliser, évidemment un nombre supérieur à 2 (ou bien 2 (?) ), mais je ne vois pas comment passe de la fraction obtenue à un majorant...

Vous pourriez me mettre sur la voie?

Merci! =)

**PlaneteF** · 17/03/2013, 19h58

Envoyé par The_Anonymous

Oui, excusez-moi, on arrive bien à $\text{[math]}$ .

Ah d'accord! Je comprends maintenant le sens de la démarche! Il est vrai que j'ai vu ce Théorème, autant l'utiliser!

Je comprends le fait que si on prouve $\text{[math]}$ alors on saura que $\text{[math]}$ est croissante.

Par contre, je ne vois pas du tout quel majorant on pourrait utiliser, évidemment un nombre supérieur à 2 (ou bien 2 (?) ), mais je ne vois pas comment passe de la fraction obtenue à un majorant...

Vous pourriez me mettre sur la voie?

Merci! =)

On a donc : $\text{[math]}$ , ... et puisque $\text{[math]}$ est une suite positive, $\text{[math]}$ est donc du signe de $\text{[math]}$ ... Euhhhhh, tu ne le vois toujours pas le majorant judicieux

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 20h10

Ah, je CROIS avoir compris... Puisqu'on veut $\text{[math]}$ , c'est ça?!?! (Victoire intérieure xD

)

**PlaneteF** · 17/03/2013, 20h18

Envoyé par The_Anonymous

Ah, je CROIS avoir compris... Puisqu'on veut $\text{[math]}$ , c'est ça?!?! (Victoire intérieure xD

)

Donc il faut montrer que la suite $\text{[math]}$ est majorée par $\text{[math]}$ .

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 20h19

Et donc... ( moment de lucidité incroyable x) ) on remplace et on obtient :

$\text{[math]}$ .

Donc, la suite est croissante et majorée, donc elle converge ( :me genius: ), c'est ça?

(Il faut encore prouver que 2 est la limite... (Baisse de moral x) ) )

**PlaneteF** · 17/03/2013, 20h28

Envoyé par The_Anonymous

Et donc... ( moment de lucidité incroyable x) ) on remplace et on obtient :

$\text{[math]}$ .

Donc, la suite est croissante et majorée, donc elle converge ( :me genius: ), c'est ça?

Attention,

... jusque là tu n'as ni démontré que la suite est croissante, ni démontré que la suite est majorée.

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 20h30

Euh.. L'édit étant fait après mon message, je ne sais pas s'il est d'actualité... Mais n'a-t-on pas montré que $\text{[math]}$ comme dans mon message#13?

Edit de #16 : Comme $\text{[math]}$ , cela ne dit pas que la suite est croissante?

Et comme dans #13, cela ne prouve pas que la suite est majorée par 2?

Alors comment fait-on?

**PlaneteF** · 17/03/2013, 20h45

Envoyé par The_Anonymous

Et comme dans #13, cela ne prouve pas que la suite est majorée par 2?

Ben dis donc, c'est simple les maths avec toi

... s'il suffisait d'écrire "Puisqu'on veut" pour démontrer quelque chose

... Ben non, tu n'as bien évidemment rien démontré dans ton message#13.

Je crois que tu t'embrouilles un peu là. Reprend calmement le fil des messages, et tu verras que la seule chose qui ait été démontré c'est que $\text{[math]}$ est du signe de $\text{[math]}$ , ... c'est tout !

Maintenant si tu démontres que la suite est majorée par $\text{[math]}$ alors puisque $\text{[math]}$ est du signe de $\text{[math]}$ , cela montrera du coup que $\text{[math]}$ est strictement positif, donc que la suite est strictement croissante, ... et donc là tu pourras effectivement conclure que la suite est convergente.

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 20h54

D'accord, je comprends le sens de la démarche... Mais alors comment montre-t-on que la suite est majorée par 2?

Merci !

**PlaneteF** · 17/03/2013, 20h58

Envoyé par The_Anonymous

D'accord, je comprends le sens de la démarche... Mais alors comment montre-t-on que la suite est majorée par 2?

Merci !

Ben par une "bonne vieille" démonstration par récurrence "des familles"

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 21h35

Envoyé par PlaneteF

Ben par une "bonne vieille" démonstration par récurrence "des familles"

Merci! Le "des familles" signifie quoi exactement?

Soit la propriété $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . (On a défini $\text{[math]}$ précédemment).

Vérification de P(0) : On a $\text{[math]}$ , qui est bien sûr vraie.

Hérédité : on veut arriver à $\text{[math]}$ , sachant que $\text{[math]}$ est supposé vrai.

On a donc :

$\text{[math]}$ .

Donc, $\text{[math]}$ , et P(n) est vérifié puisque P(0) est vraie et l'hérédité est juste.

Donc, la suite $\text{[math]}$ admet 2 comme majorant.

Right, master?

Merci !!! =)

Reste encore à prouver pourquoi la limite est 2, puis à faire le reste, mais je préfère déjà être sûr que cela est juste...

**PlaneteF** · 17/03/2013, 21h42

Envoyé par The_Anonymous

Merci! Le "des familles" signifie quoi exactement?

Expression pour dire qu'il s'agit du "bon vieux truc bien rôdé et bien connu, qui traverse les âges" ...

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 21h53

Ah d'accord, je ne savais pas... ^^ encore merci pour la démarche, et si vous auriez (au fait, puis-je vous tutoyer? (Que sais-je...)) des conseils pour maintenant montrer que 2 est la limite, c'est à dire prouver que $\text{[math]}$ , je suis toujours preneur...

Cordialement

**PlaneteF** · 17/03/2013, 22h05

Envoyé par The_Anonymous

... au fait, puis-je vous tutoyer?

Le tutoiement est la "norme" sur internet.

Envoyé par The_Anonymous

(...) des conseils pour maintenant montrer que 2 est la limite, c'est à dire prouver que $\text{[math]}$ , je suis toujours preneur...

Cf. message#4 de jamo.

**The_Anonymous** · 17/03/2013, 22h27

Bon d'accord alors... ^^

Envoyé par jamo

en majorant (res minorant) et en étudiant la monotonie de la suite . dans ce cas ,la limite existe et vérifie l=sqrt(2l)

Soit, euh... J'avourais que j'ai un peu du mal à déchiffrer le message... "En majorant" -> on l'a fait, on a majoré $\text{[math]}$ par 2, "(res minorant)" euh, je ne comprends pas le "res", mais on a dit que la suite est positive, donc on a $\text{[math]}$ ; "étudier la monotonie" -> on l'a fait, on a prouvé que la suite est croissante; "vérifie l=sqrt(2l)" pourquoi des "L"? Et comment déduit-on par le fait que la suite converge qu'elle converge vers 2? Et encore mieux, comment le prouve-t-on? (en fait, le but de ce topic... ^^)

En fait, dans mon cours (ne le prenez pas en tant que leçon, je vous explique juste comment je pensais qu'il fallait procéder, mais je suis un ignorant...), la preuve de la limite d'une suite était rédigée de cette façon (j'épargne les détails, je vous mets les grandes lignes) :

"Pour la suite $\text{[math]}$ , on fait tendre $\text{[math]}$ vers l'infini et on obtient x :

$\text{[math]}$ (l'autre solution n'étant pas plus grande que 2.)

On prouve donc :

$\text{[math]}$ .

On itère et on trouve : $\text{[math]}$ .

Donc, $\text{[math]}$ .

Donc, pour $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$ .

Voilà, donc c'est un exemple, je ne sais pas s'il faut, ou même si on peut faire pareil, mais je me disais que c'était la méthode voulue... En tous cas, si vous avez d'autre(s) méthode(s) à me proposer, je suis toujours là!

Cordialement

Encore merci! =)

**PlaneteF** · 17/03/2013, 23h54

Pour montrer que la suite converge vers $\text{[math]}$ , cela se fait en 1 ligne et 5 secondes en utilisant le théorème suivant :

Soit une suite $\text{[math]}$ dont la relation de récurrence est de la forme $\text{[math]}$
Dans ce cas si $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ et si $\text{[math]}$ est continue en $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est point fixe de $\text{[math]}$ )

Attention : La réciproque est fausse !

**The_Anonymous** · 18/03/2013, 00h01

Euh.. Oui d'accord... ^^

Mais.. Ce Théorème-là, nous ne l'avons point vu.

Est-il démontrable rapidement et facilement ou bien peut-on quand même procéder tel #25?

(Je ne force pas à prendre ma méthode, mais cela m'étonne que nous devions utiliser un Théorème alors inconnu pour nous...)

De plus, je ne suis même pas sûr d'avoir compris le sens de ce Théorème...

N'y a-t-il vraiment pas d'autre(s) moyen(s) existant (presque(s)) aussi facile(s)?

Merci encore! =)

(Et merci pour cette réponse à cette heure-ci!

)

**jamo** · 18/03/2013, 05h43

Envoyé par PlaneteF

Hi there![/I]

Mes Hommages du Matin

Bonne journée ou si tu préfères have a Great Day

**PlaneteF** · 18/03/2013, 20h10

Envoyé par The_Anonymous

N'y a-t-il vraiment pas d'autre(s) moyen(s) existant (presque(s)) aussi facile(s)?

Si tu ne veux pas ou ne sais pas utiliser le théorème utilisant le point fixe, tu peux montrer que la suite $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Cette suite est positive, ... ensuite il suffit de lui trouver une suite majorante qui converge vers $\text{[math]}$ . Pour ce faire tu pars de l'expression de $\text{[math]}$ pour trouver une inégalité bien choisie avec $\text{[math]}$ + une petite récurrence (un peu comme dans ton message#25), ... et tu conclus.

**The_Anonymous** · 18/03/2013, 21h47

Merci de penser à une deuxième méthode ! (Et tu es le seul, personne d'autre n'a daigné me répondre

)

Commençons par le commencement :

On a donc :

$\text{[math]}$ (Si je traduis bien, on commence avec $\text{[math]}$ qui est positive...)

Par la formule de la suite,

$\text{[math]}$

Et si j'ai bien compris, on devrait arriver à une inégalité du genre :

$\text{[math]}$ ...

Mais je ne vois pas trop comment... On pourrait factoriser ainsi :

$\text{[math]}$ , mais je ne vois pas à quoi cela amène...

Peux-tu me donner plus d'indication(s) s'il te plaît ? Merci !! =)

Brazeor

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