Fonction exponentielle

**leo11** · 10/04/2013, 23h58

Bonjour,
Je ne comprend pas pourquoi on dit que la fonction exponentielle est aussi la "fonction puissance".
Pourriez-vous m'expliquer précisément ce que c'est que c'est que la fonction exp, et pourquoi exp (x) $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ , d'après mes sources, serait le nombre de Néper, qui serait égal à $\text{[math]}$ ... D'où sort ce nombre ?
Je sais que ça fait pas mal de questions, mais si vous pouviez me répondre, cela me serait d'une grande aide.

En fait, notre prof nous en parle souvent, mais nous ne sommes qu'en première, donc nous ne l'avons pas encore vu en cours, donc je ne comprends pas très bien (soit dit en passant, si quelqu'un aurait un cours ?...^^).
Voilà. D'avance merci.

Léo.

**Tryss** · 11/04/2013, 01h37

Vaste question

Déjà la première question à se poser, c'est comment défini tu a^x ?

Parce que pour x différent d'un nombre rationnel, c'est difficile de donner un sens avec la définition "naturelle" de la puissance

La fonction exponentielle est une fonction très importante en mathématique, qui peut être définie de plusieurs façon.

Puisque tu as donné une série pour définir le nombre e, je vais donner la définition de la fonction exponentielle par une série entière :

$\text{[math]}$

C'est à dire, pour donner un sens explicite à cette notation : $\text{[math]}$

Et on peut montrer que cette définition à bien un sens pour tout x réel.

Et alors, on a $\text{[math]}$ , ainsi que $\text{[math]}$

Maintenant, pourquoi note t'on $\text{[math]}$ ?

Tout simplement, car la fonction $\text{[math]}$ coïncide avec la fonction puissance "naturelle" dans le cas où x est un rationnel.

(C'est du au fait que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ )

La définition par une série de l'exponentielle est peut être la plus "artificielle", mais c'est aussi (à mon avis) la plus pratique

Maintenant, on peut la définir d'autre manières :

* Par une relation fonctionnelle :

$\text{[math]}$ est la seule fonction continue qui vérifie $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Note que cette définition est la définition naturelle que l'on pourrait employer pour étendre la fonction puissance "naturelle" à des puissances non rationnelle.

Par exemple, si je veux définir la fonction $\text{[math]}$ , je peux dire que c'est la seule fonction continue qui vérifie $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Le désavantage de cette définition, c'est qu'elle nous apporte peu d'informations sur la fonction exponentielle, et qu'il faut montrer qu'une telle fonction existe bien est est bien unique (que la définition à bien un sens)

* Par une équation différentielle :

$\text{[math]}$ est la solution de l'équation différentielle $\text{[math]}$ qui vérifie f(0) = 1

Il va de soit que toutes ces définitions sont équivalentes

Si tu as d'autres questions, ou bien que tu n'as pas compris un truc dans ce que je viens de raconter, n'hésite pas ! (ça fait un gros pavé, ça se voit que je suis en vacances

)

**leo11** · 11/04/2013, 16h52

Je vous remercie de m'avoir répondu.
Seulement, il y a une question que je me posais:
nous savons que $\text{[math]}$ , donc pouvons-nous dire que exp(2) $\text{[math]}$ ?
Et qu'est-ce que la "fonction puissance naturelle" ?

**gg0** · 11/04/2013, 17h25

Bonjour Leo11.

nous savons que $e=\sum\limits_{n=0}^N \frac{1}{n!}$

Bizarrement, la limite a disparu alors que Tryss l'avait écrite. Du coup ça n'a plus de sens puisque le second membre dépend de la lettre inconnue N, pas e.
Sinon e² étant le carré de e, la réponse est oui, évidemment. Et c'est aussi exp(2) donc $\text{[math]}$

Cordialement.

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**leo11** · 11/04/2013, 19h21

Oui, c'est vrai, je n'ai pas écrit la limite car il l'avait déjà mentionnée, donc j'ai pris la limite pour acquise

.
Et sinon, pourriez-vous m'indiquer ce que c'est que la "fonction puissance naturelle" ?

Merci.

**Tryss** · 11/04/2013, 19h33

Envoyé par leo11

Oui, c'est vrai, je n'ai pas écrit la limite car il l'avait déjà mentionnée, donc j'ai pris la limite pour acquise

.
Et sinon, pourriez-vous m'indiquer ce que c'est que la "fonction puissance naturelle" ?

Merci.

Celle que l'on va définir "naturellement" :

Pour n entier positif, a^n = aaa...aa (n fois le terme a)

Puis on étend aux n entiers négatifs par a^n = 1/(a^(-n) )

Puis on étend aux n = 1/q, pour q entier par la relation : ( a^(1/q) )^q = a (on prend l'image réciproque de a par la fonction x -> x^q)

Puis on étend aux rationnels, par a^(p/q) = (a^p)^(1/q)

On a donc une fonction qui se défini assez naturellement, c'est pour ça que je l'appelle 'fonction puissance "naturelle" '

**leo11** · 11/04/2013, 19h33

Ah, et aussi, peut être ma question est-elle idiote, mais je ne vois pas comment nous pouvons passer de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ . Quelqu'un pourrait-il me donner un lien pour la démonstration, car je ne sais pas vraiment comment multiplier deux sommes sans les écrire en entier

Merci.

**leo11** · 11/04/2013, 19h36

D'accord Tryss, je comprends.
Merci pour ces explications

.

**gg0** · 11/04/2013, 20h13

Pour ton message #7, j'ai bien peur qu'il n'existe pas de preuve élémentaire. On le fait en bac+2 ou fin bac+1, dans des études très mathématisées (classes prépas scientifiques ou L1/L2 à dominante maths.

Cordialement.

**leo11** · 11/04/2013, 20h28

Ah, bon d'accord.
Merci pour la précision

.

**leo11** · 11/04/2013, 20h56

J'ai encore une question

.
Nous avons exp(0)= $\text{[math]}$ , or $\text{[math]}$ =1, donc exp(0)=1.
Ceci est simple.

Par contre, si l'on essaie en remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ (tel que $\text{[math]}$ ) nous obtenons $\text{[math]}$ .

Et si l'on suit la relation $\text{[math]}$ , on obtient $\text{[math]}$ .

J'ai probablement dû me tromper, mais je ne sais pas trop où.

Merci de m'éclairer

.

**Tryss** · 11/04/2013, 22h05

La preuve n'est pas difficile, mais demande un peu d'astuce et est un peu pénible à faire si on s'y prend mal. Il faut employer le binôme de Newton et faire des manipulations sur les sommes :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Ensuite, c'est là qu'est le petit trick, il va falloir sommer sur k = i-j au lieu de sommer sur i.

Et si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ , et la somme devient :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**Tryss** · 11/04/2013, 22h30

J'ai probablement dû me tromper, mais je ne sais pas trop où.

Non, mais il faut juste considérer que, par convention, 0^0 = 1, tu as donc le terme où n=0 qui est non nul

**Seirios** · 12/04/2013, 09h11

Une manière de voir les choses peut être la suivante :

Soit $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ est bien défini pour tout $\text{[math]}$ . Maintenant, si l'on étend naïvement les propriétés de l'exponentiation entière, on a envie de définir $\text{[math]}$ comme la racine $\text{[math]}$ -ième de $\text{[math]}$ , puisqu'alors $\text{[math]}$ , ce qui permettrait de définir $\text{[math]}$ (noter qu'ici $\text{[math]}$ , donc cela a bien un sens), avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . On définit donc naturellement l'exponentiation $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ . Maintenant, cette fonction a au plus un prolongement continu sur $\text{[math]}$ , par densité de $\text{[math]}$ , et il se trouve que $\text{[math]}$ est précisément un tel prolongement.

**gg0** · 12/04/2013, 09h29

Bonjour Leo11.

dans les écritures de polynômes ou de séries avec des $\text{[math]}$ , la constante 1 des termes constants est écrite x⁰ pour avoir une formule générale. Donc il faut lire :
$\text{[math]}$

Cordialement.

**leo11** · 12/04/2013, 20h59

D'accord, j'ai capté.
Merci à tous pour vos réponses

.

Fonction exponentielle