Equation de trigonométrie

[frodelma]

Bonjour, pourriez-vous m'aider ? Je ne parviens pas à résoudre l'équation suivant : cos(x)-cos(2x)=sin(3x). J'ai essayé de modifier l'écriture avec des formules de duplication mais ça ne fait que compliquer la résolution.

Merci d'avance.
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[Lucien-O.]

Tu peux utiliser les formules de Simpson (transformation de somme en produit), de façon à ne plus avoir que des sinus, et ensuite seulement la duplication sur ; tu devrais alors observer une possibilité de simplifier ton équation.

Bon boulot!

[frodelma]

J'ai cherché sur internet mais je ne trouve pas de " formules de Simpson" qui m'aident à simplifier l'équation.

[Lucien-O.]

Sans doute ne les as-tu pas encore étudiées ces formules,...

Quoiqu'il en soit, je suis désolé mais je vois pas - à priori - comment faire sans Simpson,...

Ps: Comment t'y es-tu pris pour ne pas les trouver?! Il suffit de taper "formules de Simpson" sur google pour tomber sur une foule de liens .

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigonom%C3%A9trie

Voir la formule donnant cos p - cos q

[pallas]

Sans simpson tu ecris tout en fonction de sinx
sachant que cos 2x = 1-2sin²x et sin(a+b)= sina cosb +sinbcosa et sin2x= =sinxcosa et cos²x =1-sin²x
tu obtiens ainsi une expression du troisieme degré en sin mais tu remarque qu'il y a une solution evidente etc ...

[topmath]

Bonsoir ce qu'à proposer pallas est juste

Sans simpson tu ecris tout en fonction de sinx
sachant que cos 2x = 1-2sin²x et sin(a+b)= sina cosb +sinbcosa et sin2x= =sinxcosa et cos²x =1-sin²x
tu obtiens ainsi une expression du troisieme degré en sin mais tu remarque qu'il y a une solution evidente etc ...

Ce-là s'appelle linéariser une équation en cos ou alors en sin ... puits la résoudre .

Cordialement

[gg0]

Non non,

ce n'est pas une linéarisation !!!

[gondebaud]

Bonsoir,

Sans simpson tu ecris tout en fonction de sinx
sachant que cos 2x = 1-2sin²x et sin(a+b)= sina cosb +sinbcosa et sin2x= =sinxcosa et cos²x =1-sin²x
tu obtiens ainsi une expression du troisieme degré en sin mais tu remarque qu'il y a une solution evidente etc ...

Sauf qu'il y a un terme qui pose problème : cos(x) (celui de l'équation de départ : cos(x) - cos(2x) = sin(3x) ). Car pour l'écrire en fonction de sin(x), ce serait alors ... A moins que je n'ai pas compris suffisamment ta méthode ou pas vu "un truc", es-tu sûr qu'elle fonctionne ?

(perso, après avoir cherché, je doute d'une erreur dans l'énoncé, à moins qu'il y ait une "bonne astuce" quelquepart)

Cordialement

[gg0]

Bonsoir.

Le "truc" classique ici est d'écrire en fonctions de a=3x/2 et b=x/2. On remplace x par a-b, 2x par a+b et 3x par a+a. Un coup de formules d'addition, on met tout dans le même membre et on factorise.

Cordialement.

NB : C'est la méthode d'obtention de la factorisation de cos p -cos q, cos p + cos q, etc.

[gondebaud]

Edit : ou

@gg0 : Oui, et c'est marrant, ta méthode ressemble fortement à celle que je viens d'utiliser (je viens de trouver la réponse). Par contre, j'ai dû utiliser ensuite les formules d'Euler, fait quelques changements de variables et résoudre une équation de degré 3 dans C ... Je pense qu'il doit y avoir plus simple

[gg0]

Je ne sais pas ce que tu es allé chercher, on trouve immédiatement
sin(a)=0 ou sin(a)=cos(a)
Et on revient à x avec des équations de base.

[gondebaud]

J'ai trouvé plutôt quelque chose comme -sin(a)=cos(b) (b multiple de a). Et ensuite j'ai utilisé les formules d'Euler pour essayer de résoudre ça.
Si tu as trouvé quelque chose comme sin(a) = cos(a), c'est beaucoup mieux, oui ^^.

[gondebaud]

Re...
Une erreur dans mes calculs (le '-' était faux), j'obtiens plus précisément quelque chose comme sin(a)=cos(3a) ou sin(3a) = 0.
Au final, j'obtiens (et vérifications faites) 6 solutions sur [-pi ; pi].

(sur ce, bonne nuit à tou(te)s)

[topmath]

Bonsoir gg0

Non non,
ce n'est pas une linéarisation !!!

Mais je n'est fait qu' utiliser les formules d' Euler c'est à dire abaisser le degrés n du Cosⁿx ou Sinⁿx pour tout x c'est à dire l'utilisation des formules (1) et (2) ; cosx=(e^ix+e^-ix)/2 (1) ainsi que sinx=(e^ix-e^-ix)/2i (2).
Ces formules permettent de linéariser cosnx et sinnx, c'est-à-dire d'exprimer ces quantités en fonction de cos(px) et sin(px) Formule d'Euler enfin c'est ce que je pense .

Cordialement

[gondebaud]

Bonjour,
Je me disais bien qu'il y avait plus simple (et compris après coup ce que tu voulais dire par "Et on revient à x avec des équations de base",gg0) : au lieu de passer par Euler, il suffisait d'utiliser le fait que sin(a) = cos(a - pi/2) pour obtenir : cos(a - pi/2) = cos(3a)

En résumé, bien qu'assez difficile, c'est un bon problème :
1. Utilisation de la factorisation de cos(p) + cos(q) ou de cos(p) - cos(q) (cf wiki) et changement de variables.
2. Simplification de l'équation de départ.
3. Utilisation du lien entre le sinus et le cosinus : sin(a) = cos(a-pi/2)
4. Attention pour la suite.

Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Il fut une époque où la technicité de cet exercice était considérée comme naturelle en fin de première (d'où une fuite vers la terminale philo des "mauvais en maths"). Puis on donna ce genre d'exercice en première terminale S et F (STI), dans les années 80, sachant qu'il était un peu limite puisqu'on n'apprenait plus par coeur les formules comme sin p + sin q. Mais je vois qu'il survit, sans bien comprendre quel est le but de celui qui le donne (classe de très haut niveau ? Montrer qu'il y a des exercices d'énoncé simple et difficiles à résoudre ? Prouver que le prof en sait plus que les élèves ? ...)

Cordialement.

[gondebaud]

Ou parce qu'il fait intervenir plusieurs choses et qu'il fait bien travailler la trigo. Sinon, étant un ancien élève en lycée dans les années 80, je me rappelle bien de ces manipulations (et on n'apprenait pas les formules par coeur, bien que c'était conseillé, oui). Pour cette équation-là c'est possible, mais comme c'est loin je n'en ai plus le souvenir.

[topmath]

Bonsoir à tous effectivement je rejoint gondebaud sur sa remarque:

Bonsoir,
Sauf qu'il y a un terme qui pose problème : cos(x) (celui de l'équation de départ : cos(x) - cos(2x) = sin(3x) ). Car pour l'écrire en fonction de sin(x), ce serait alors ... A moins que je n'ai pas compris suffisamment ta méthode ou pas vu "un truc", es-tu sûr qu'elle fonctionne ? (perso, après avoir cherché, je doute d'une erreur dans l'énoncé, à moins qu'il y ait une "bonne astuce" quelquepart)Cordialement

Encore il n'y' a pas d'astuce à mon avis faut remplacé cosx par c'est une belle proposition de votre par ,on a pas le chois ça va être long mais c'est le seul issus .
Mais soyez sur que cette exercice est soluble en méthode algébrique , je veux dire non pas part les méthode numérique mais l'inconvénient dans cette solution quelle sorte du cadre du forum "Mathématiques du collège et du lycée " je ne s'est pas si la Modération m'autorise à poster ici la solution ou va falloir transférer cette discussion en forum "mathématiques du supérieur" pour pouvoir posté la repense .

Cordialement

[gondebaud]

Bonsoir,
Attention, Topmath, j'avais rectifié un oubli dans le message d'après : cos(x) = sqrt(1-sin²(x)) ou -sqrt(1-sin²(x))
Donc c'est pire que ça avec cette méthode : deux cas à considérer.
Cordialement.

[topmath]

Bonjour à tous oui gondebaud je comprend ce que vous voulez dire par la considération des deux cas est vous avez complétement raison dont je vous remercies , mais les deux cas vont pas influencer sur le calcule car le sqrt(1-sin²s) va être lui même élever aux carrée de plus amples détaille vous aller remarquez ça sur la solution des que possible je poste celle ci merci encore ;

Cordialement ;

[topmath]

Bonsoir à tous ;
gg0 à raison de dire que

Bonjour.
Il fut une époque où la technicité de cet exercice était considérée comme naturelle en fin de première (d'où une fuite vers la terminale philo des "mauvais en maths"). Puis on donna ce genre d'exercice en première terminale S et F (STI), dans les années 80, sachant qu'il était un peu limite puisqu'on n'apprenait plus par coeur les formules comme sin p + sin q. Mais je vois qu'il survit, sans bien comprendre quel est le but de celui qui le donne (classe de très haut niveau ? Montrer qu'il y a des exercices d'énoncé simple et difficiles à résoudre ? Prouver que le prof en sait plus que les élèves ? ...)
Cordialement.

Soi l'équation cos(x)-cos(2x)=sin(3x) que je l'appelle (1) utilisant cette formule sin(3x)=3sinx-4sin³x d’après formule trigonométrique page 11 (*).
Encore sachant que cos(2x)=1-2sin²x , et .

; alors je multiplie les deux membre de cette équation (1) par -1 .
; si en aura que j'appelle l'équation (2).
- A partir de cette équation (2) j’introduis le changement de variable suivant on aura
qui est l'équation (3) asseyant maintenant d'élever les deux membres de cette équation ;
c-a-d si en traite le premier membre de cette équation à part on peut factoriser l’expression à l’intérieur des parenthèses car est une racine évidente .
On effectue la division Euclidienne pour factoriser ce terme :
alors on peut écrire remplaçant ceux ci dans l équation (3) en aura :


donc on peut simplifier les deux membres de cette équation par (t+1) on aboutie à;
(*) après calcule on aura :

Alors
si ou là aussi faut résoudre cette ’équation ;
introduisant le changement de variable d'ou
Les racine de cette équation sont par conséquent ;
Si alors donc avec .
Si alors donc d'ou avec et .
Si alors donc sachant que on remplace x par sa valeur et avec .
Si alors donc et car et avec .
Si alors donc et car et avec .
remarque:Toutes les solutions en étaient testés et remplacer dans l’équation cos(x)-cos(2x)=sin(3x) que j'ai appelé ci haut (1) j'aimerai bien si possible SVP que quelqu'un donne ça critique sur authenticité des résultats merci d’avance ;

Cordialement

(*)Sous réserve de fautes d'orthographes ainsi que d'erreurs de frappe lors de la saisie.

[gg0]

Topmaths,

j'ai proposé une méthode qui donne les solutions en quelques lignes, bien plus simplement que ce que tu viens de faire.
les solution sont




Cordialement.

NB : En écrivant une égalité par ligne, ça se fait en 14 lignes courtes.

[gondebaud]

Bonsoir,
@Topmath : Beau travail ! (notamment l'idée de rechercher la racine évidente -1 pour simplifier avant d'élever au carré, sinon tu aurais abouti à une équation de degré 6 (ce que je craignais par ton idée)).

Sinon, ce que je vois pour le moment :
- La simplification par (t+1) de (4t² - 2t - 1)²(t+1)(t+1) = (1-t)(t+1) => Tu as alors oublié le cas ou t+1 = 0.
- Le développement de (4t² - 2t - 1)²(t+1) - (1-t) => Tu obtiens 16t^5 -20t + 6t alors que c'est 16t^5 - 20t^3 + 6t Mais aucune incidence après (simple oubli du cube dans la transcription sur ton message, c'est tout).
- Tu obtiens 5 solutions sur [-pi ; +pi], alors que j'en ai obtenu 6 (tes 5 solutions font parties des 6 que j'ai trouvé par la méthode du même type que celle de gg0).

@gg0 : Il me semble que tu ne les as pas toutes, sauf erreur. En train d'essayer de comparer avec les miennes.

Cordialement.

Edit : en train aussi d'analyser les modulo k*pi pour bien comparer (moi j'avais obtenu des modulo k*4pi à la place, faut que je vérifie ...

[topmath]

Bonsoir à tous:
je remercie gg0 pour sa remarque utile sur la méthode quelle sois long tout à fait , et je l'est même signaler dans le poste .

Bonsoir à tous effectivement je rejoint gondebaud sur sa remarque:
Encore il n'y' a pas d'astuce à mon avis faut remplacé cosx par c'est une belle proposition de votre par ,on a pas le chois ça va être long mais c'est le seul issus .

Je remercie également gondebaud pour c'est remarque utile , est je prend en considération toutes ces dernières pour voire plus claire ,je vous ferai part dans le prochain poste .
Ce qui est important dans cette exercice c'est la diversité de solutions pour chaque méthode , là aussi je vais tester les résultat pour chaque méthode afin de trouver une explication sur l'unicité des solutions à titre d’exemple solution pour wolframalpha.

Cordialement

[gondebaud]

Re...
Bon, y a beaucoup de choses qui ne s'accordent pas en comparant (mais je sature, je reprendrais demain).
Voici déjà les solutions que j'avais trouvée :
-pi/2 + 4k.pi ; -3pi/4 + 4k.pi ; pi/4 + 4k.pi ; 0 + 2k.pi ; 2pi/3 + 2k.pi et 4pi/3 + 2k.pi (k appartenant à Z).

@Topmath : Ta solution x1 = 0 + 2k.pi obtenue à partir de sin(x)=0 est fausse, c'est x1 = 0 + k.pi (sin(pi) est nul, par exemple). Pourtant, malgré cela, pi n'est pas une solution de l'équation après vérification, c'est ce qui me rend perplexe.
Du même avis sur la diversité des méthodes. Sinon, quelque soit la méthode, je pense que l'important est au moins d'en trouver une. Le mérite de gg0 est d'avoir trouvé la plus simple (jusqu'à preuve du contraire).

@gg0 : Dans tes trois solutions, il y en a une que ni moi et ni Topmath n'avons : -pi/4 + k.pi J'ai vérifié que -pi/4 est bien une solution, mais pas -pi/4 + pi = 3pi/4 (cos(3pi/4) - cos(3pi/2) = -sqrt(2)/2 alors que sin(9pi/4) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2 ). Il y aurait une erreur sur le modulo (qui doit être 2pi). Quoi qu'il en soit, ça voudrait dire qu'il y aurait au moins 7 solutions sur [-pi;pi] (si les 6 miennes sont bien justes, mes modulos étant aussi à vérifier car je doute).

Pfiou, quel exercice ! (en plus de faire intervenir plusieurs choses et faire travailler la trigo, je vais rajouter qu'il apprend à être tréééés rigoureux )

Bonne nuit à tou(te)s.

[gondebaud]

Bonjour,
Je me suis trompé en vérifiant la solution -pi/4 de gg0, elle est malheureusement fausse : cos(-pi/4) - cos(-2pi/4) = sqrt(2)/2 et sin(-3pi/4) = -sqrt(2)/2 . Donc on n'a pas une septième solution "génératrice".
J'ai repris mes calculs, mes modulos 4k.pi sont faux, c'est 2k.pi. Donc, j'obtiens :

-pi/2 + 2k.pi ; -3pi/4 + 2k.pi ; pi/4 + 2k.pi ; 0 + 2k.pi ; 2pi/3 + 2k.pi et 4pi/3 + 2k.pi (k appartenant à Z).

Sinon, je n'arrive pas à trouver une explication pour la valeur pi qui n'est pas une solution (cos(pi) - cos(2pi) = -2 et sin(3pi) = 0), et qui est dans la liste des solutions de Topmath, si on corrige l'ensemble des solutions de sin(x)=0 (cf variable t1).

Cordialement.

[gondebaud]

Ah ça y est, je pense avoir compris pourquoi : En élevant et au carré, la suite n'est alors plus équivalente (A²=B² <=> A=B ou A=-B).
Si bien que tu obtiens les solutions de et les solutions de , autrement dit toutes les solutions de l'équation et des solutions (fausses) en trop.
En résumé, si on utilise une élévation au carré sur les deux membres d'une équation, il faudra alors vérifier toutes les solutions finales une par une et faire le tri.

[gg0]

Tu as raison, Gondebaud,

en reprenant rapidement mes calculs, j'ai fait une erreur de signe, c'est au lieu de .

Cordialement.

[gg0]

Effectivement,

j'ai une grossière erreur de calcul au départ, qui fait qu'il manque quelques solutions (faire les calculs sur un coin de table, ça ne me convient pas !)

Cordialement.