Supprimer un nombre exponentiel d'une fonction

[Goustan]

Salut, lors d'un DM, je bloque sur une question qui pourrait paraître simple.
Soit la fonction numérique f définie sur R par f(x) = x²e^(x-1)-x²/2.
Soit g(x) = (x+2)e^(x-1)-1.
J'ai f'(x) = g(x) * x
Je trouve que g(x) = 0 pour 0.20 < a < 0.21 après avoir calculé sa dérivée.
La question sur laquelle je bloque est la suivante :
montrer que f(a) = (-a^3)/2(a+2)
Je n'arrive pas à supprimer le nombre exponentiel e^(1-x) qui se trouve dans la fonction numérique f(x) bien que j'ai essayé plusieurs fois en partant de ce ce que je devais démontrer, ou bien en essayant de montrer que f(a) = g(a)*a*a/2
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[PlaneteF]

Bonjour,

montrer que f(a) = (-a^3)/2(a+2)

Ca, çà veut dire :

Je n'arrive pas à supprimer le nombre exponentiel e^(1-x) qui se trouve dans la fonction numérique f(x) (...)

Tout simplement en utilisant le fait que


Cordialement

[ansset]

montrer que f(a) = (-a^3)/2(a+2)

Le résultat est faux.
Il suffit de faire une IPP.
D’ailleurs le signe – est très incongru .
Il ne manque pas un terme dans la formule de à trouver ?

[Goustan]

c'est bien f(a) = (-a^3)/(2(2+a)).
J'arrive finalement à f(a) = (f'(a) - x²e^(x-1)) * x/2
Donc f(a) = (g(a) * a -x²e^(x-1)) * x/2
Donc f(a) = -x²e^(x-1) * x/2
Ce qui ne me donne pas le résultat attendu ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Pas besoin de calcul compliqué, comme le dit PlaneteF, à partir de g(a)=0, on trouve e^(a-1) = ...

D'autre part, il n'y a pas de x dans f(a) ! Ni besoin d'y faire apparaître un f'(a) parasite.

Cordialement.

[ansset]

rien compris au départ à l'énoncé.
surtout à ce qu'était "a" ?

[PlaneteF]

rien compris au départ à l'énoncé.
surtout à ce qu'était "a" ?

Salut ansset, ... C'est l'unique solution de l'équation , d'où :

[Lari]

L'énoncé n'est-il pas plutôt formulé ainsi ?
sachant que a est solution de g(x)=0
montrer que f(a) = (-a^3)/2(a+2)

Il ne doit pas être dit, et il n'est pas nécessaire, de calculer a (comme d'hab : ne pas se focaliser sur le fait d'avoir un résultat, numérique qui plus est)

Ensuite, tout a été dit : utiliser le fait que g(a) = 0 pour calculer e^a-1

(par ailleurs, il ne me semble pas que f(a) = g(a)*a*a/2)

[ansset]

c'était implicite , j'avais lu simplement trop vite.
désolé.

[Goustan]

Merci ! C'est vrai qu'en partant de g(a)=0 tout coule tout seul en multipliant des deux côtés de l'égalité !
Juste une autre petite question s'il vous plait ^^.
Après avoir remarqué que f(a) = (-a^3)/(2(2+a)), on me demande d'étudier la fonction h(x) = (-x^3)/(2(2+x)) sur [0;1].
On me demande par la suite d'encadrer f(a), soit f(0.20)>f(a)>f(0.21). Mais à quoi m'a servi la fonction h(x) ? J'aurais très bien pu encadrer f(a) puisque je connaissais les variations de la fonction f dans [0;1].

[gg0]

Il semble qu'encadrer f(a)=h(a) avec la fonction h et 0,2<a<0,21 donne tout de suite un intervalle assez précis sur f(a). on peut même faire l'encadrement à la main !

Cordialement.

[Goustan]

Merci beaucoup pour l'aide apportée ! Cela me semble maintenant évident !