Suites, limite d'une suite

**PlaneteF** · 08/06/2014, 21h10

Une façon classique de montrer ici que $\text{[math]}$ et que la suite est croissante, est de définir la fonction $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$

A partir de là on montre que l'intervalle $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ .

Ensuite en utilisant ce résultat on montre par récurrence que $\text{[math]}$ et que la suite est croissante.

Cdt

**topmath** · 08/06/2014, 21h14

Ok PlaneteF c'est très intéressant , est le rôle du point fixe dans tous ça ?

**PlaneteF** · 08/06/2014, 21h20

Envoyé par topmath

Ok PlaneteF c'est très intéressant , est le rôle du point fixe dans tous ça ?

"Les points fixes" ... ici il y en a 2 ! ...

Une fois que tu as démontré que la suite est convergente, appelons alors $\text{[math]}$ sa limite, un théorème connu énonce que si $\text{[math]}$ est continue en $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ est un point fixe de $\text{[math]}$ ).

Cdt

**topmath** · 08/06/2014, 21h23

Re PlaneteF :

Envoyé par PlaneteF

"Les points fixes" ... ici il y en a 2 ! ...

Une fois que tu as démontré que la suite est convergente, appelons alors $\text{[math]}$ sa limite, un théorème connu énonce que si $\text{[math]}$ est continue en $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$

Cdt

Je pense que $\text{[math]}$ ?

**PlaneteF** · 08/06/2014, 21h33

Envoyé par topmath

Re PlaneteF :
Je pense que $\text{[math]}$ ?

Oui, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont les deux points fixes de $\text{[math]}$ .

**topmath** · 08/06/2014, 21h47

Merci PlaneteF je doit résumer tout ça et essayer de bien comprendre avec réflexion .

Cordialement

**ansset** · 09/06/2014, 12h43

excellente idée de tracer la courbe f(x)=(8x-3)/(x+4) ainsi que g(x)=x
et de voir comment se comporte la suite en fonction de $\text{[math]}$
cordialement.

**topmath** · 10/06/2014, 19h04

Bonsoir à tous :

Envoyé par ansset

excellente idée de tracer la courbe f(x)=(8x-3)/(x+4) ainsi que g(x)=x
et de voir comment se comporte la suite en fonction de $\text{[math]}$
cordialement.

Salut ansset c'est ce que je vais m’efforcer à le poster ici

.

Cordialement

**topmath** · 20/06/2014, 19h44

Bonjour à tous :

Envoyé par topmath

Bonsoir à tous :

Salut ansset c'est ce que je vais m’efforcer à le poster ici

.

Cordialement

Nom : Capture12.JPG
Affichages : 63
Taille : 118,3 Ko

Voilà j'ai dessiné la figure liée à la suite Homographique en attendant que je prépare mes questions (désoler pour ce retard).

Cordialement

**PlaneteF** · 21/06/2014, 13h59

Envoyé par topmath

Voilà j'ai dessiné la figure liée à la suite Homographique en attendant que je prépare mes questions (désoler pour ce retard).

Salut topmath,

Tracer cette courbe seule a un intérêt limité, ... c'est l'utilisation de cette courbe avec la droite $\text{[math]}$ qui te permet de visualiser le comportement de la suite.

Cdt

**topmath** · 21/06/2014, 20h55

Bonjour à tous :

Envoyé par PlaneteF

Salut topmath,

Tracer cette courbe seule a un intérêt limité, ... c'est l'utilisation de cette courbe avec la droite $\text{[math]}$ qui te permet de visualiser le comportement de la suite.

Cdt

Salut PlaneteF : Oui vous avez parfaitement raison , reste un petit détaille avant que je refait le dessin est ce $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme je l'est fait sur le dessin message 39 ou alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ car j'ai un doute sur ce schémas et merci d'avance ?

Cordialement

**PlaneteF** · 21/06/2014, 21h07

Envoyé par topmath

Oui vous avez parfaitement raison , reste un petit détaille avant que je refait le dessin est ce $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme je l'est fait sur le dessin message 39 ou alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ car j'ai un doute sur ce schémas et merci d'avance ?

Tu peux tracer les 4 droites d'équation $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ... cela permet de visualiser que l'intervalle $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ . Maintenant il faut le démontrer formellement.

Cdt

**topmath** · 21/06/2014, 21h42

Bonjour :

Envoyé par PlaneteF

Tu peux tracer les 4 droites d'équation $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ... cela permet de visualiser que l'intervalle $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ . Maintenant il faut le démontrer formellement.

Cdt

Ok dès que possible .

Cordialement

**topmath** · 21/06/2014, 22h29

Bonjour :

Voilà j'ai terminé le schéma :
Nom : Capture.JPG
Affichages : 43
Taille : 119,9 Ko

Je vais maintenant essayer de le démontrer formellement comme la dit PlaneteF .

Cordialement

**ansset** · 24/06/2014, 20h39

le principe visuel:
tu pars d'un point $\text{[math]}$ sur les abscisses.
tu en déduits $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
puis en projetant successivement sur la courbe y=x puis verticalement sur les abscisses, tu replaces ainsi $\text{[math]}$ sur les abscisses.
et ainsi de suite.
tu peux voir l'évolution de la suite quand $\text{[math]}$ est =1, =3, ou est compris entre 1 et 3, mais aussi quand $\text{[math]}$ est en dehors de cet intervalle.
tu dessines en fait un escalier qui converge ou diverge.
cordialement.

**topmath** · 24/06/2014, 21h15

Bonjour :

Envoyé par ansset

le principe visuel:
tu pars d'un point $\text{[math]}$ sur les abscisses.
tu en déduits $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
puis en projetant successivement sur la courbe y=x puis verticalement sur les abscisses, tu replaces ainsi $\text{[math]}$ sur les abscisses.
et ainsi de suite.
tu peux voir l'évolution de la suite quand $\text{[math]}$ est =1, =3, ou est compris entre 1 et 3, mais aussi quand $\text{[math]}$ est en dehors de cet intervalle.
tu dessines en fait un escalier qui converge ou diverge.
cordialement.

Salut ansset oui tout à fait vous avez raison , de même que pour les conseilles de PlaneteF , je veux aller tout doucement merci encore ansset ;

Cordialement

**Lanceliogs** · 24/06/2014, 23h01

En fait, ansset l'a déjà dit, mais je laisse quand même mon message si quelqu'un veut rebondir, les démonstrations par récurrence étant moins élégantes dans la plupart des cas selon certains profs de maths...

Bonsoir,

Je viens juste ajouter mon grain de sel :
Dans ce genre d'exercice, la première chose à faire est d'étudier la fonction qui définit la récurrence (ici la fonction $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ )

Ensuite, il suffit de tracer la courbe et on peut instantanément donner une réponse graphique quelque soit le premier terme de la suite ! C'est un peu de la magie ! (Je peux vous montrer si vous voulez, mais je pense que vous devez essayer aussi !)

Bonne soirée !

**PlaneteF** · 25/06/2014, 00h24

Envoyé par Lanceliogs

(...) les démonstrations par récurrence étant moins élégantes dans la plupart des cas selon certains profs de maths...

Bonsoir Lanceliogs,

Sauf que le raisonnement qui consiste à dire "cela se voit sur le graphique" ne constitue pas une démonstration. Le graphique est intéressant pour visualiser ce qui se passe, mais ensuite pour la démonstration en reprenant l'énoncé d'origine, la méthode classique est de démontrer que l'intervalle $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ . Ensuite en utilisant cette stabilité, par récurrence simplissime et immédiate on montre que la suite est bien définie avec $\text{[math]}$ et que la suite est croissante.

N.B. : Qui plus est, à titre personnel je trouve ce genre de récurrence avec zéro calcul non seulement élégant, mais je dirais même plus "hyper-classe"

Cordialement

**ansset** · 25/06/2014, 00h33

je plussoie.
mon intervention ne visait qu'à aider à visualiser, non pas à se substituer à une démonstration.
cordialement

**Lanceliogs** · 25/06/2014, 08h11

Dans le cas de cet exercice, je suis d'accord avec vous puisqu'on se limite à l'étude de la suite sur ]1;3[ et que la récurrence est immédiate. Si on devait étudier la suite complète, la méthode "classique" et la plus efficace consisterait en l'étude de la fonction qui définit la récurrence, puis à la recherche des points fixes, etc...

C'est vrai que certaines récurrences ont quand même la méga classe !

Blaise Pascal il était pas très chaud pour utiliser les récurrences, si on en croit wikipedia...

**topmath** · 28/06/2014, 18h13

Bonjour à tous :

Envoyé par PlaneteF

Bonsoir Lanceliogs,

Sauf que le raisonnement qui consiste à dire "cela se voit sur le graphique" ne constitue pas une démonstration. Le graphique est intéressant pour visualiser ce qui se passe, mais ensuite pour la démonstration en reprenant l'énoncé d'origine, la méthode classique est de démontrer que l'intervalle $\text{[math]}$ est stable par $\text{[math]}$ . Ensuite en utilisant cette stabilité, par récurrence simplissime et immédiate on montre que la suite est bien définie avec $\text{[math]}$ et que la suite est croissante.

J'ai vue cette définition concernant la stabilité, On appelle partie stable d'un magma (E,⋆) toute partie A de E vérifiant ∀x,y∈A, x⋆y∈A mais là je bloque dés le départ !! ou alors y'a t'il autre définition de la stabilité , je ne sais pas enfin , pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ en ce référant à la figure géométrique .

Cordialement

**topmath** · 28/06/2014, 18h57

Bonjour :
Encore je suis pas pleinement satisfait de cette démonstration message #51.

Cordialement

**gg0** · 28/06/2014, 19h47

Topmah,

la partie I du domaine de définition de f est stable par f si quelque soit x dans I f(x) est dans I.
"ça se voit sur le dessin" n'est pas une preuve. mais il est facile de trouver une preuve vu que f est croissante

Cordialement.

**topmath** · 28/06/2014, 20h02

Ok gg0 mais si je me contante de la première je veux dire (en rouge)

Envoyé par gg0

Topmah,

la partie I du domaine de définition de f est stable par f si quelque soit x dans I f(x) est dans I.
"ça se voit sur le dessin" n'est pas une preuve. mais il est facile de trouver une preuve vu que f est croissante

Cordialement.

Là justement je choisis un $\text{[math]}$ quelconque de $\text{[math]}$ , ou comment faire ? et merci d'avance .

Amicalement

**gg0** · 28/06/2014, 20h35

Ben,

tu prends x dans [1;3], et tu prouves que f(x) est dans [1;3]. C'est à la portée d'un élève de seconde.

Cordialement.

Suites, limite d'une suite

Re : Suites, limite d'une suite

Re : Suites, limite d'une suite

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