intégrale et dimension

[G.youcef]

bonjour tout le monde.
Alors que je faisait des exos sur les intégrales j'ai remarqué que a chaque "intégration" ( si le terme est bon ) on gagne une dimension
par exemple : on a une fonction f(x) on calcul l'intégrale F(x) compris entre deux valeurs A et B ( A>B), en clair on calcul F(A) - F(B) et cette valeur nous donne une aire ( l'aire de quoi ? aucun idée en tout cas c'est une aire ! ).
si on intègre aussi la fonction F(x) on trouve g(x) ( qui est la troisième intégrale de f(x) ) celle ci nous donne le volume ( aucune idée quelle volume en tout cas du volume )
la ou je brûle mon cerveau c'est l'intégrale de g(x) qu'on vas nommer G(x) .................sa donne quoi ? sa a une signification ?
je suis arrivé au seul résultat que c'est de la 4D mais a t'elle vraiment une signification ? c'est utile ou pas ? vas-t-on limité l'intégrale qu'au niveau de la troisième ?? peut-on aller plus loin sans se retrouve entrain de se baigner dans le non-sens ??
voila voila mon problème merci d'avoir lu et j'attend vos réponses ^^
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[Titiou64]

Bonjour,

C'est une bonne remarque que tu t'es faite.
Par exemple, en résistance des matériaux, on obtient différents éléments par des intégrations successives en gagnant à chaque fois une dimension.
q= charge répartie (N/m)
V=int q = effort tranchant (N)
M = int V = moment fléchissant (Nm)
w= int M/EI = rotation (radian) = sans unité car M/EI<=> 1/m donc en intégrant, ça fait m/m= sans unité
y = int w = déformation (m)

[G.youcef]

Merci beaucoup pour la réponse tu m'as ouvert un nouvel horizon .
je me suis basé sur la géométrie que j'ai carrément oublié que les math sa a aussi une signification physique merci beaucoup ^^.
Merci pour t'as réponse ^^.

[AdelineJ]

En mathématiques, il n'y a pas de dimension maximale. A la fac, on met même dimension n pour généraliser...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Teddy-mension]

Bonjour Youcef,

Ton message est rigolo est intéressant ! Je vais essayer de te répondre d'un point de vue mathématique.

j'ai remarqué que a chaque "intégration" ( si le terme est bon ) on gagne une dimension par exemple : on a une fonction f(x) on calcul l'intégrale F(x) compris entre deux valeurs A et B ( A>B), en clair on calcul F(A) - F(B) et cette valeur nous donne une aire ( l'aire de quoi ? aucun idée en tout cas c'est une aire ! ).

Alors déjà petit point vocabulaire.

- Une intégrale est un nombre, et non une fonction. Dans ton exemple, on parlera plus de "primitives en chaîne" que de "intégrales en chaîne". Du coup, d'une fonction (et non , qui est un nombre !), on calcule ici sa primitive (et non , qui est également un nombre (*) !)

- Ensuite tu as également parlé d'aire. Si on prend une fonction positive, et , avec , et qu'on pose , alors est l'aire "située entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites verticales passant par a et b", dans un repère orthogonal, bien sûr. Une aire, au sens physique, étant toujours positive, on prendra l'opposé de l'intégrale lorsque la fonction est négative.

- Tu as enfin parlé de dimension, ce qui t'engage dans quelque chose de compliqué. La notion de dimension est en principe abordée après celle des espaces vectoriels (tu verras ça dans le supérieur, si tu continues à faire des maths), c'est assez compliqué à définir sans toute la théorie derrière. Mais, pour te donner quelques exemples intuitifs, est de dimension 1, est de dimension 2, et est de dimension 3. Bref, tout ça pour te dire qu'ici le mot était plutôt mal employé. Parler de dimension d'un nombre n'a pas vraiment de sens ici. On peut juste dire que la "puissance" augmente, peut-être.

si on intègre aussi la fonction F(x) on trouve g(x) ( qui est la troisième intégrale de f(x) ) celle ci nous donne le volume ( aucune idée quelle volume en tout cas du volume )
la ou je brûle mon cerveau c'est l'intégrale de g(x) qu'on vas nommer G(x) .................sa donne quoi ? sa a une signification ?
je suis arrivé au seul résultat que c'est de la 4D mais a t'elle vraiment une signification ? c'est utile ou pas ? vas-t-on limité l'intégrale qu'au niveau de la troisième ?? peut-on aller plus loin sans se retrouve entrain de se baigner dans le non-sens ??
voila voila mon problème merci d'avoir lu et j'attend vos réponses ^^

Je comprends pas vraiment ton histoire de volume du coup. L'intégrale d'une fonction sera un nombre, une aire si tu veux. Mais ensuite on peut pas intégrer une aire, ça n'a pas de sens (ce sont les fonctions que l'on intègre !). A la limite on peut prendre la primitive de la fonction de départ, et intégrer cette dernière. Mais là aussi, on aura une aire.. (?)
Là où on peut te rejoindre par contre, c'est qu'en "primitivant" l'identité par exemple, on a (à un coeff près) la fonction carrée, puis la fonction cube, etc. Du coup je comprends ton impression de "grandissement".

(Après, la quatrième dimension (puisque c'est ça ta question au final) ne pose absolument aucun problème en mathématiques, y'a des espaces vectoriels de dimension 0, 1, 3, 4, 50, de dimension infinie même, c'est tout comme tu veux.
Mais c'est sûr que pour la représentation géométrique sur le papier, c'est plus compliqué après hein.)

Le "grandissement" est d'ailleurs peut-être plus parlant en physique, comme disait Titiou64. Je le rejoins d'ailleurs avec un autre exemple que tu as peut-être déjà vu : on prend l'accélération, d'unité m/s², on primitive et on a la vitesse, en m/s, et on primitive encore et on a la position, en m. En physique, la dimension ce sera en gros "le nombre de variables". Dans l'exemple précédent, à chaque fois on a comme "rajouté une variable temporelle" (on en a enlevé une au dénominateur).

En tout cas c'est vraiment bien de te poser des questions comme ça.
En espérant avoir été clair.
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(*) Et pour le coup, ce nombre c'est une intégrale, la suivante : , où vérifie .

[G.youcef]

merci beaucoup pour vos réponses et de m'avoir montrer mes TRES grosse erreurs en langage "mathématique" et vraiment désolé pour ça ( j'étudie en arabe donc pas très facile de trouvé les mots qui convienne )
en clair je voulait savoir si y'avait un sens a la quatrième "primitive" (voir plus ^^ ) d'une fonction car même l'exemple de l'accélération s’arrête a la troisième et ne vas pas a la quatrième (d’après mon niveau ) et sa m'aide pas dans mon problème LOL .
maintenant je sais que ça peut avoir un sens d'après son utilisation ( en plus tu me confirme qu'on peut aller très loin avec mais c'est pas de mon niveau) .
merci beaucoup pour vos réponses ^^

[triall]

Bonjour, @Tedyy ,
Youcef parle de dimension en physique, je crois,comme l'équation aux dimension .C'est ce qu'a noté Titiou .
La dimension d'une intégrale :int( f(t)dt ) est égale à la dimension de f(t) multipliée par la dimension de dt (dimension de t) .
Exemple pour la chute libre dans le vite : v=g.t qu'on note aussi f(t) v est la vitesse, g l'accélération de la pesanteur , avec comme dimension L.T^-1 , une distance L divisée par un temps T .
Si l'on intègre : int(gtdt) on obtient 0.5gT² qui a la dimension LT^-2.T^2= L ...d'une longueur. C'est aussi donc une vitesse , multipliée par un temps , une distance ...

[Teddy-mension]

Bonjour triall,

Bonjour, @Tedyy ,
Youcef parle de dimension en physique, je crois,comme l'équation aux dimension .C'est ce qu'a noté Titiou .

Peut-être, n'empêche qu'il a posté dans la section mathématiques..

Cordialement.