Divisible par 6 ?

[Winlock]

Bonsoir !

Je suis en Terminale S et mon professeur de spé maths m'a donnée un DM à faire à propos des divisions euclidiennes.

Voici l'énoncé : "Le produit de trois entiers consécutifs est il toujours divisible par 6 ?
On désignera par n le plus petit de ces entiers puis on raisonnera selon les valeurs du reste de la division euclidienne de n par 6."

J'ai déjà débuté quelques petits trucs mais je suis bloquée. Pour le moment j'ai fait :
n(n+1)(n+2) = n^3 + 3n² + 2n
Donc c'est égal à n(n²+3n+2)

J'en suis arrivée à la conclusion que n(n²+3n+2)/6 = n/6 x (n²+3n+2)/1
E(n/6) = q + r
n = 6q + r
6q+r/6 : quand r = 0 alors n/6
6 ne divise ni 1 ni 2 ni 3 ni 4 ni 5. De plus r étant le reste de la division euclidienne de n par 6, alors r<6
Donc n/6 pour r= 0

Par transitivité, n(n²+3n+2)/6 puisque (n²+3n+2) est un entier...
Donc le produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6, quand n est un multiple de 6.

Voila ce que j'ai fait, mais je pense que ça ne tient pas la route :/

Pouvez vous m'aider ? Je débute tout juste la spé maths et j'ai un peu de mal pour le moment, je n'arrive pas à tout comprendre et j'avoue être bien bloquée sur ce DM... j'ai essayé de me resservir des démonstrations et propriétés que nous avons vu en cours, mais aucune ne m'a été utile. Je suis perdue...

Merci d'avance & bonne soirée
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Connais-tu la notion de congruence ?


Cordialement

[Winlock]

Non, je n'ai eu que 3 cours de spé et on en a pas parlé...

[Tryss]

Sinon, on peut le faire par les divisions euclidiennes :

Si on a le produit (a)(a+1)(a+2) , alors
- soit a est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3
- soit a a pour reste 1 par la division euclidienne par 3, et s'écrit donc a=3q+1, donc a+2 = 3q+1+2 = 3(q+1) est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3
- soit a a pour reste 2 par la division euclidienne par 2, et s'écrit donc a=3q+2, donc a+1 = 3q+2+1 = 3(q+1) est divisible par 3, donc le produit est divisible par 3

Ainsi, quelque soit a, (a)(a+1)(a+2) est divisible par 3

on procède de même pour la divisibilité par 2

Donc (a)(a+1)(a+2) est divisible par 2 et par 3, donc par leur ppcm. Or ppcm(2,3)=6, ce qui conclut la preuve

[A voir en vidéo sur Futura]

[joel_5632]

Faut suivre l'indice donné dans l'énoncé
"on raisonnera selon les valeurs du reste de la division euclidienne de n par 6"