Etude du sens de variation d'une suite

[rex38]

Bonsoir


J'ai un exercice à faire et j'ai besoin de votre aide !


Dans l'exercice, on me demande d'étudier le sens de variation de plusieurs suites (n> ou égale à 1)

1) Un = 3n -2/n
2) Vn = n - 2Vn (--> V=Racine carrée)
3) Wn = 3 * 2^n
4) Zn+1 = Zn + n - 5

Pour le 1) j'ai utilisée la dérivée f'(x) (Je ne sais pas si c'est le meilleur moyen)

Un = 3n - 2/n est du type Un = f(Un) ou f(x) = 3x -2/x

On pose u(x) = 3x et v(x) = 2/x
D'ou u'(x) = 3 et v'(x) = -2/x²

On a donc : f'(x) = 3 - (-2/x²) = 3 + 2/x²

Donc f'(x) > 0 et Un est croissante pour tout n>1



Pouvez vous m'indiquez si ma méthode est la bonne ?

Merci d'avance pour votre aide
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[Noct]

Un = 3n - 2/n est du type Un = f(Un) ou f(x) = 3x -2/x

Attention , c'est f(n) et non f(Un).
Cette méthode marche ici , car la fonction est croissante partout , et donc à fortiori sur l'ensemble des entiers naturels. Mais ça ne marchera pas toujours.
Mais, il y a une méthode beaucoup plus générale pour étudier les variations d'une suite, tu dois le savoir.
Il s'agit d'étudier le signe de .

[rex38]

Ah merci beaucoup

Oui j'ai aussi essayé avec la méthode Un+1 - Un, mais elle me semble plus compliquée... :s



Pour la suite, je dois étudier le sens de variation de la suite Vn = n - 2*Rn (--> Rn = Racine de n)

Vn = n - 2*Rn est du type Vn = f(n) ou f(x) = x - 2*Rx (--> Rx = Racine de x)

on pose u(x) = x et v(x) = 2Rx
D'ou u'(x) = 1 et v'(x) = 2 * 1/2Rx = 1/Rx

Donc f'(x) = 1 - 1/x


Mais à partir de la je bloque ...

[Noct]

Toujours penser à mettre sous le même dénominateur.
Je te recommande quand même la méthode , en pensant à mettre tes expressions sous le même dénominateur , elle sera tout aussi simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[rex38]

Ah oui merci, et donc du coup f'(x) > 0 et (vn) est croissante ?


Si j'essaie avec la méthode Un+1 - Un je suis de nouveau bloquée :

Vn+1 - Vn = n+1 - 2*Rn+1 - n + 2Rn
Vn+1 - Vn = 1 - 2Rn+1 + 2Rn

Et après ...

[Noct]

Bon, pour la 2) étudier la fonction en entier est peut-être plus simple , mais pour les autres , étudier Un+1 - Un marche plutot bien.

[rex38]

Oui pour la suite j'ai utilisé Un+1 - Un


Par contre pour la 2) comment je justifie que f'(x) >0 ... ?

[PlaneteF]

f(x) = 3x -2/x

Petite remarque :

est la somme de 2 fonctions strictement croissantes, à savoir et , donc est strictement croissante.


Cdt

[Noct]

C'est simple , tu étudies cette fonction uniquement sur les entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
f'(x) n'est pas tout le temps supérieur à 0, mais sur le domaine sur lequel on l'étudie , si.

[rex38]

Pour la suite ...

3) Wn = 3 * 2^n
Ici j'utilise la méthode Un+1/Un
Wn+1/Wn = 3 *2^n+1 / 3 * 2^n = 2^n+1-n = 2^1 = 2

Pour tout entier naturel n > ou égale à 1, Wn>0 et Wn+1/Wn >1 donc la suite (Wn) est croissante.

4) Zn+1 = Zn + n - 5 avec Z1= 0

Ici j'utilise la méthode Un+1 - Un

Zn+1 - Zn = Zn + n - 5 - Zn = n - 5

On a n> ou égal à 1.
Donc Zn+1-Zn < ou égal à 0 pour 1<n<5 (ici les signes < signifient "inférieur ou égal")
et Zn+1-Zn>0 pour n>

On a donc (Zn) décroissante pour 1<n<5 et croissante pour tout entier n>5.




Mes résultats sont-ils justes ?

[PlaneteF]

Wn+1/Wn = 3 *2^n+1 / 3 * 2^n = 2^n+1-n = 2^1 = 2

Ton écriture est archi fausse. Il manque des tonnes de parenthèses.

Cdt

[rex38]

Oui bah je galère un peu avec l'ordinateur

Cdt ?

[PlaneteF]

Cdt ?

Je te rassure, ce n'est pas une insulte, cela veut dire "cordialement"

[rex38]

D'accord

Mais sinon ma démarche est la bonne

[PlaneteF]

Vn+1 - Vn = 1 - 2Rn+1 + 2Rn

Et après ...

En utilisant la quantité conjuguée de , on a :



Le dénominateur est évidemment strictement positif, et compte tenu que le numérateur aussi.


Cdt

[rex38]

Merci beaucoup pour ton aide

J'ai tout compris.

[PlaneteF]

Merci beaucoup pour ton aide

J'ai tout compris.

Ben tu peux remercier aussi Noct