Exposants fractionnaires

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

Contrairement à ce qu'a dit mon prof, je pense que la formule des exposants fractionnaires est fausse pour des

Par exemple, on sait que

Mais si la formule est correcte,

??!!

Me suis-je trompé quelque part?

Merci
-----

[invited3a27037]

bonsoir

extrait de:
http://www.usenet-fr.net/fur/maths/maths-faq.html

1.2.c J'ai réussi à montrer que 2=1

En utilisant les puissances.
-1=(-1)^1=(-1)^(1/1)=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=1^(1/2)=1

L'erreur vient du fait que l'on néglige, ici, la définition de la
puissance. En effet, on ne peut pas écrire a^q pour q rationnel et a
réel négatif.

Plus précisément, on peut expliquer le phénomène de la manière
suivante.
Définition 1:
Dans un ensemble stable par la loi multiplicative (pour être le plus
général possible), on note (pour un élément a de l'ensemble et pour
b entier naturel non nul) a^b pour désigner a multiplié b fois par
lui-même .
Définition 2:
Dans le cas ou on l'on veut mettre un rationnel en exposant, il faut
utiliser la définition de la puissance par l'exponentielle :
pour a réel strictement positif et b réel, a^b=exp(b*ln(a)).

On a en fait le droit d'écrire (-1)^(2/2). Mais pas d'utiliser la
loi a^(b*d)=(a^b)^d, car pour utiliser cette loi de composition, il
faut, du fait que d est ici rationnel, prendre la définition avec
l'exponentielle, qui interdit à a d'être négatif.

On a bien la loi de composition a^(b*d)=(a^b)^d pour la définition 1
et la définition 2, mais on peut l'appliquer (pour a, b et d réels):
-- Selon la définition 1, seulement si b et d entiers naturels
-- Selon la définition 2, seulement si a est strictement positif.

[invite2b0650e6]

Merci beaucoup

[invite2b0650e6]

bonsoir

extrait de:
http://www.usenet-fr.net/fur/maths/maths-faq.html

On a en fait le droit d'écrire (-1)^(2/2). Mais pas d'utiliser la
loi a^(b*d)=(a^b)^d, car pour utiliser cette loi de composition, il
faut, du fait que d est ici rationnel, prendre la définition avec
l'exponentielle, qui interdit à a d'être négatif.

On a bien la loi de composition a^(b*d)=(a^b)^d pour la définition 1
et la définition 2, mais on peut l'appliquer (pour a, b et d réels):
-- Selon la définition 1, seulement si b et d entiers naturels
-- Selon la définition 2, seulement si a est strictement positif.

Mais alors, qu'en est il de, par exemple, ? Est-ce égal à 16? Et, si oui, comment trouver ce résultat sans utiliser la loi de composition?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Une première remarque : ça a peu d'importance, parce que dans la pratique des maths on n'a pas besoin de traiter des tas de cas particuliers. A niveau petit et moyen (y compris les ingénieurs) on peut se passer des puissances de négatifs, sauf les puissances entières; à plus haut niveau, on utilise une méthode (surfaces de Riemann) qui évite les soucis.

Maintenant, pour ton nombre, qu'on le définisse comme la racine cubique de (-64)² ou comme le carré de la racine cubique de -64, on arrive au même résultat. Il n'y a pas toujours incohérence entre les formules. par contre, avec la formule générale des exposants réels quelconques (qui utilise ln), le nombre de base doit être strictement positif. Il n'y a pas ici de méthode générale pour calculer les puissances quelconques de négatifs.

Cordialement.

[PlaneteF]

Mais alors, qu'en est il de, par exemple, ? Est-ce égal à 16? Et, si oui, comment trouver ce résultat sans utiliser la loi de composition?

Bonjour,

La fonction "puissance 2/3" n'est définie que sur , donc la question ne se pose même pas !

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_puissance

Cordialement

[gg0]

En fait, on peut généraliser certains exposants aux négatifs, mais ça manque fortement de cohérence. C'est ce qu'a fait remarquer Ghandi33 dès le début.

[PlaneteF]

Oui d'ailleurs c'est aussi précisé dans le lien Wiki que j'ai donné.

Cdt

[invite2b0650e6]

La fonction "puissance 2/3" n'est définie que sur , donc la question ne se pose même pas !

Bonsoir,

Pourquoi géogerba me donne-t-il ce graphe alors?

Merci

[invite2b0650e6]

C'est en "généralisant certains exposants aux négatifs", comme disait gg0 ?

Merci

[PlaneteF]

Ta pièce jointe n'est pas encore validée mais je suppose que tu montres la courbe représentative de avec des valeurs sur tout ?!

Si c'est effectivement la cas, et si l'on s'en tient à la définition première des fonctions puissances comme celle donnée dans le Wiki plus haut ou comme celle que tu trouveras dans les cours de prépa ou de licence (c'est-à-dire sans chercher des cas de prolongement de fonction ou des cas d'extensions de définition), alors la courbe en question n'est pas celle de mais celle de qui ne sont pas les mêmes fonctions (car n'ayant pas le même domaine de définition).

Cordialement

[invite2b0650e6]

Oui c'est cela.

Merci beaucoup pour cet éclaircissement.