Suites et Algorithme

[Casillas38]

Bonsoir j'ai besoin de votre aide pour un exercice qui me pose problème


Voila l'énoncé :

On pose pour tout entier supérieur ou égal à 1 :

Un = Somme des terme allant de 1 à n : 1/k^3 = 1 + 1/(2^3) + 1/(3^3) + ... + 1/(n^3)

1) Justifier que la suite (Un) est croissante.

2) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout n appartenant à N : Un < ou égal à 2-1/n

3) Que peut-on en conclure ?

4) Soit E>0
Ecrire un algorithme qui rend une valeur approchée à E près de la limite de la suite (Un).





Pour la question 1, j'utilise la méthode Un+1 - Un :

On a Un+1 = Un + 1/ (n+1)^3

Donc Un+1 - Un = Un + [1/(n+1)^3] - Un
Un+1 - Un = 1/(n+1)^3

On a n> ou égal à 0 donc : (n+1)^3 >0 et 1>0

Donc Un+1 - Un > 0 et donc (Un) est croissante.






Par contre pour la question 2 je bloque...

Initialisation :

Vérifions que la propriété est vraie au rang initial :
U1 < 2 - 1/1 et 1<1

Donc la propriété est vraie au rang initial.



Hérédité :

Supposons la propriété vraie pour un certain rang k. Vérifions qu'elle est vraie au rang k+1 :

Un < 2-1/n
Un + [1/(n+1)^3] < 2 - 1/n + [1/(n+1)^3]
Un+1 < (2 - 1/n) + [1/(n+1)^3]

Mais après... ça n'aboutit à rien ! Donc je ne pense pas que ce soit la bonne méthode.

Pouvez vous m'aidez
-----

[Gandhi33]

Bonsoir,

Tu devrais apprendre le LaTeX.

Cordialement

[Casillas38]

Le quoi... ?

[Gandhi33]

Voilà ce que ça donne en LaTeX:



C'est mieux, n'est-ce pas?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Casillas38]

Oui c'est mieux... mais je ne vois pas comment je pourrais "l'apprendre" ...

Pouvez vous m'aider pour mon exercice ?

[Gandhi33]

J'y réfléchis...

[Gandhi33]

Es-tu toujours là?

[gg0]

Bonsoir.

Pour ta question 2, il serait bon que tu regardes ce que tu veux obtenir, à partir de
U_n+1 < (2 - 1/n) + [1/(n+1)^3]
En effet, faire un calcul sans savoir pourquoi, ce n'est pas facile !
Donc que voudrais-tu prouver ?

Cordialement.

[Casillas38]

Je voudrais montrer que Un+1 < 2 - 1/(n+1)

On a : Un+1 < 2 - [1/n - (1/(n+1)^3)]

On veut montrer que : 1/n - (1/(n+1)^3) > 1/(n+1)
1/n - (1/(n+1)^3) - 1/(n+1) > 0

On obtient : n²+n+1 / n(n+1) qui est clairement positif puisque n>1


Et donc Un+1 < 1/(n+1) ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

On obtient : n²+n+1 / n(n+1)

Ca, çà veut dire :


Cordialement

[gg0]

Ce que tu viens de faire est une recherche. maintenant, il te reste à transformer ça en une preuve rédigée clairement, qui part de Un+1 < 2 - [1/n - (1/(n+1)^3)] pour arriver à Un+1 < 1/(n+1)
Tu peux faire précéder de la remarque que 1/n - 1/(n+1)^3 - 1/(n+1)= ( n²+n+1) / (n(n+1)) >0 donc 1/n - 1/(n+1)^3 > 1/(n+1).

Cordialement.

NB : attention à l'usage des parenthèses ( inutiles autour de 1/(n+1)^3, oubliées ailleurs), revois les règles de priorité des opérations (début de collège !).

[Gandhi33]

Ensuite tu peux conclure en disant que



Mais



Et puisque et est croissante,

On obtient finalement



Cordialement

[PlaneteF]

@Casillas38:

Sinon le dénominateur c'est

Cdt

[gg0]

Effectivement.

Comme quoi il faut faire une rédaction précise !

[PlaneteF]

Mais

Attention, là tu utilises le théorème de comparaison qui pour être appliqué ici doit avoir comme hypothèse convergente, chose qui a ce stade n'est pas démontré !

Cdt

[Gandhi33]

Oups j'ai fait une petite erreur. C'est évidemment .

[PlaneteF]

Oups j'ai fait une petite erreur. C'est évidemment .

Tu as fait une autre erreur, moins petite , celle que j'ai indiqué juste avant.

Cdt

[Gandhi33]

Attention, là tu utilises le théorème de comparaison qui pour être appliqué ici doit avoir convergente, chose qui a ce stade n'est pas démontré !

Si je dis que la suite est strictement croissante et inférieure à une autre suite convergente, la suite n'est elle pas nécessairement convergente?

[PlaneteF]

Si je dis que la suite est strictement croissante et inférieure à une autre suite convergente, la suite n'est elle pas nécessairement convergente?

Ben déjà, ça tu ne l'avais pas dit ...

... Maintenant, oui, la suite est nécessairement convergente, mais par quel(s) théorème(s) le justifies-tu ? ... Parce que ce que tu énonces là ce n'est pas un théorème connu.

Cdt

[Gandhi33]

Ben déjà, ça tu ne l'avais pas dit ... Maintenant, oui, la suite est nécessairement convergente, mais par quel(s) théorème(s) le justifies-tu ? ... Parce que ce que tu énonces là ce n'est pas un théorème connu.

Je ne l'avais pas dit tellement cela transpirait l'évidence.

Quant à la justification, elle est laissée en guise d'exercice pour le lecteur.

Plus sérieusement, je ne sais pas comment le prouver.

[PlaneteF]

Si l'on veut suivre le raisonnement que tu as amorcé, on peut dire :

La suite est convergente (elle converge vers ).

Théorème : Toute suite convergente est bornée, donc majorée.

Donc la suite précédente est majorée. Mais elle majore elle-même la suite , qui est donc majorée aussi.

Théorème : Toute suite croissante majorée est convergente.

Donc est convergente.


N.B. : sinon, on peut aussi remarquer directement que la suite est majorée par avec la même conclusion qui suit.


Cdt

[Gandhi33]

Ok merci beaucoup

[Gandhi33]

Tu peux remarquer que ,dans mon message initial, tous les éléments (majoré et croissant) étaient présents bien que mal présentés.

[PlaneteF]

... bien que mal présentés.

Ben justement, c'est bien là ce qui fait toute la différence entre une justification précise, ... et celle que tu as proposé

Et c'était précisément le sens de mon intervention !

Cdt