DM maths fonction arctan TS

[cindosh]

Bonjour, à tous, j'espère que vous passez de bonnes vacances =)
J'ai un DM qui me donne du fil à retordre grrrrr

Voilà la bête:

La fonction arctangente

Nous admettons qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur R et vérifiant f(0)=0 et, pour tout réel x, f'(x)= 1/(1+x^2)
1) Parité
a) Montrer que la fonction g: x→f(x)+f (-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b) Calculer g(0). En déduire que a fonction est impaire.

2) Limite en +∞
a) Montrer que la fonction h: x → f(x)+f(1/x) est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer sa dérivée.
b) En déduire qu'il existe une constante c telle que, pour tout x›0, on ait: f(x)=c-f(1/x) (1)
c) A l'aide de (1), prouver que limf(x)=c
X→+∞
3) On considère la fonction u, définie sur]-π/2,π/2[, par u(x)=tan x
a) montrer que la fonction ф: x→ f o u(x)-x est dérivable sur]-π/2,π/2[ et calculer sa dérivée.
b) calculer ф(0)
En déduire que pour tout x de]-π/2,π/2[, on a f(tan x )=x
c) Calculer les valeurs exactes de f(1), f(√3), f (1/√3) ainsi que la valeur exacte de la constante c.
4)a) étudier le sens de variation de f sur [0,+∞( et dresser le tableau de variations.
b) a l'aide des renseignements précédents, tracer la courbe Cf (préciser les asymptotes et la tangente à l'origine)


j'ai cherché la première question mais je n'y arrive pas, car comment trouver la fonction f(x)? Je pensai utiliser la dérivée et avoir g': x→f'(x)+f '(-x) mais je doute, est-ce faisable?
-----

[Victzz]

Salut,

comment trouver la fonction f ? --> La fonction f est donné dans l'énoncé , elle n'est pas définie explicitement mais ici tu n'en a pas besoin , on te demande juste de calculer la dérivée de g et tu connais la dérivée de f (attention ta dérivée de g est fausse)

[cindosh]

ah mais oui! je suis bête XD
donc g': x→f'(x)+f '(-x)
(1/(1+x^2))+(-1/(1+x^2)) et après je calcule tout ça et j'ai g'?

[Victzz]

Comment est ce que tu passes de f'(-x) à -1/(1+x^2) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[cindosh]

j'ai appliqué le "-"
c'est pas bon?

[Victzz]

Tu as f'(-x) = 1/(1+(-x)^2) = 1/(1+x^2) , il n'y a pas de moins . Dans ton message au dessus tu obtiens la bonne valeur de g'(x) au final mais l'égalité g'(x) = f'(x) +f'(-x) est fausse , il faut que tu revois la dérivée d'une fonction composée.

[cindosh]

1)a)en tant que somme de 2 fonctions dérivables et définies sur R, g'(x)=f'(x)+f'(-x) c'est bon pour montrer que la fonction est dérivable?
g'(x)=2/(1+ x^2)

b)on sait que g(x)=f(x)+f(-x) et g'(x)=f'(x)+f'(-x)
et g'(0)=(1/1+0^2 )+(1/1+0^2)
g'(0)=2
f'(x)=f'(-x)=1
mais je ne suis pas sure que ce soit bon pour montrer que f est impaire....

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu viens d'écrire 2 fois ceci :

g'(x)=f'(x)+f'(-x)

C'est faux.

Cordialement

[cindosh]

mais pourquoi?

[PlaneteF]

Ben parce que ne vaut évidemment pas

Cdt

[cindosh]

ma qu 1 est quand meme bonne?

[PlaneteF]

ma qu 1 est quand meme bonne?

Ton "qu" il faut deviner !

Sinon je ne vois pas comment ta question 1 pourrait être bonne, puisque cette question te demande, entre autres choses, de calculer , et ton résultat n'est pas le bon.

Cdt

[cindosh]

désolée pour le "qu"

alors en reprenant tout:
g(x)=f(x)+f(-x) et g'(x)=f'(x)+f'(-x) ,on est d'accord? et pour f'(-x) je remplace dans f'(x) le x par -x?

[PlaneteF]

alors en reprenant tout:
g(x)=f(x)+f(-x) et g'(x)=f'(x)+f'(-x) ,on est d'accord?

Pas du tout d'accord, ... c'est faux ...

Victzz t'avait déjà fait la remarque dans son message#6. Je te l'ai aussi dit, et je te le redit : c'est faux.

Cdt

[cindosh]

Alors, je suis pas sure du tout mais je tente
f'(-x)=-1 ?

[PlaneteF]

f'(-x)=-1 ?

... Pas du tout.

L'énoncé te donne , ... comment veux-tu que soit égal à ??!

Cdt