Devoir sur les demi-cercles

[mathieu38150]

Bonsoir, je reçois aujourd"hui cet exercice quelque peu difficile pour moi, j'ai construit à l'aide de géogebra la conjecture, j'ai posé x = AM et là je bloque.

Voici l'énoncer :
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 10 cm et AD = 6 cm. Soit M appartenant [AB].
On construit les deux-demi-cercles de diamètres [AM] et [BM], on note A l'aire des deux demi-cercles.

1) Quelle est alors l'aire maximale A.
2) Est-il possible que l'aire A soit égale à la moitié du rectangle ? Si oui, pour quel distance AM.

Merci beaucoup.
Mathieu
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[jiherve]

Bonjour,
Qu'as tu fait pour le moment?
JR

[mathieu38150]

Pour le moment, j'ai posé x = AM.
Ensuite je détermine à quel intervalle appartient x soit x € [0;M] (je ne suis pas sûr)
Ensuite je calcule l'air du disque AM soit A= pi x r²

[jiherve]

Re
A ne serait il pas la somme des aires des deux demi cercles ?
Sinon le problème n'en n'est plus un.
garde x pour AM et exprime A
JR

[A voir en vidéo sur Futura]

[mathieu38150]

A correspond à l'air du disque soit Adisque

[jiherve]

re,

on note A l'aire des deux demi-cercles

?
pour moi c'est donc leur somme.
JR

[mathieu38150]

En fait je m'occupe tout d'abord du demi cercle AM et ensuite du demi cercle BM pour calculer l'aire totale

[jiherve]

Re
Donc vas y.
JR

[jiherve]

Re
c'est bien long!
jr

[mathieu38150]

Rebonsoir,
excusez-moi j'étais parti manger.
Donc je pose x = AM
ensuite je determine l'intervalle auquel appartient x soit 0<x<10
Ensuite je calcule l'aire du disque du diamètre AM soit A l'air du premier disque AM : Donc Aa = pi x r²
seulement je ne sais pas comment trouver le rayon

[gg0]

Connaissant le diamètre tu ne sais pas trouver le rayon ? Vraiment ????

[mathieu38150]

non à vrai dire :/

[gg0]

C'est quoi le rayon ? Et le diamètre ? On voit ça en sixième (rappels du primaire).

[jiherve]

Re,
pour mémoire l'aire d'un cercle c'est connaissant le diamètre : pi*d²/4.
et pour le moment l'intervalle de définition on s'en fout un peu.
Donc exprime l'aire des demi cercles en fonction de AM = x.
En quelle classe es tu?

JR

[mathieu38150]

Bonsoir, merci de vos réponses, je suis en 1ère S.

Voila ce que je trouve pour l'aire A du premier demi-cercle : pi x (x/2)² / 2
je ne sais pas si je dois le develloper plus ?
Pour l'aire A du deuxième cercle je trouve, pi x (10-x)² / 2

[jiherve]

Bonsoir,
comme amha le problème porte sur la somme des deux aires et que l'on cherche un maximum qu'est ce que cela te suggère?
une piste : derivée
note : pi x (10-x)² / 2 c'est faux
JR

[mathieu38150]

Si c'est ça la première aire est égale à pi x (x/2)² / 2 et la deuxième à pi x (10-x/2)² / 2
Ensuite on additionne les deux aires pour trouver l'aire maximale

[jiherve]

re
yes, mais quel est le critère à utiliser pour trouver la valeur maximale?
pi x ((10-x)/2)² / 2 attention aux parenthèses!!!
JR

[mathieu38150]

je ne sais pas

[jiherve]

Re
Si tu sommes les deux aires tu récupères une expression du second degré :
A= ax²+bx+c
c'est donc une fonction dont tu peux calculer le maximum, est il n'est il pas ?
JR

[geometrodynamics_of_QFT]

ce qui est génial, c'est qu'il n'y a pas d'autre méthode que l'opération de dérivation pour répondre à cette question de manière analytique : les 4 opérations de bases (+, -, x, /) ne sont pas suffisantes lorsqu'on cherche un "maximum".

Lorsque tu auras trouvé la réponse, tu pourras la dessiner sur ton dessin, et te dire "oui, je le sentais bien que c'était quand x était à cet endroit que l'aire était maximale, mais je voulais en être certain!", car uniquement sur base de considérations géométriques, on n'est rarement totalement convaincu (surtout si tu considères après un rectangle de longueur L et de largeur l)

[jiherve]

Re
en l’occurrence la solution de l'optimum se trouve uniquement par la géométrie et les symétries inhérentes au problème, mais c'est vrai une petite verif algébrique cela rassure.
pour la seconde question c'est forcement cunutoire.
JR

[geometrodynamics_of_QFT]

Re
en l’occurrence la solution de l'optimum se trouve uniquement par la géométrie et les symétries inhérentes au problème, mais c'est vrai une petite verif algébrique cela rassure.

On peut trouver l'optimum d'une expression algébrique en la dérivant UNIQUEMENT si son expression vérifie le critère de continuité, qui est défini dans le cadre de l'analyse.
On ne trouve pas l'optimum par la géométrie, mais bien par la dérivation (analytique) d'une expression (algébrique) construite sur base de la géométrie.

[jiherve]

Re
Je ne considérais que ce cas particulier dont la solution est triviale.
JR

[geometrodynamics_of_QFT]

oups, oui, j'avais zappé le "en l'ocurence"...par contre, j'avais été frappé par le mot "uniquement", et il n'est (même dans ce cas-ci) pas rigoureux : on peut AUSSI le trouver analytiquement, l'optimum

Mais trève de tergiversation, où est est notre Mathieu38150 dans la dérivation de son expression quadratique représentant la somme des aires?

[jiherve]

re
bien sur et heureusement , uniquement = simplement pas plus ni moins.
Bon mais lui il sèche et c'est inquiétant pour quelqu'un en 1ere S.
JR

[jiherve]

bonsoir,
où en es tu?
JR