Equation aux congruences

[invite77420056]

Bonjour à tous j'ai un problème avec cette équation:

x5=x modulo 30

x5 signifie x puissance 5 et = signifie est congrus à.

j'arrive à x (x2+1) (x-1)(x+1)=0 modulo 30

or 30=6×5 et 6 et 5 sont premiers entre eux

mais après je n'arrive pas à résoudre cette équation .

pourriez vous m'aidez svp ?
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[Seirios]

Bonjour,

Juste pour savoir, la décomposition que tu donnes vient d'une question préliminaire dans un exercice, ou bien cherches-tu à résoudre ton équation sans indication ?

[Seirios]

Si je ne me trompe pas, tu as , donc pour tout . Du coup, ton problème se simplifie en . Comme tu l'as dit, où et sont premiers entre eux, du coup cela revient à résoudre le système . Pour chaque équation, tu as ou divisible par et , etc.

[invite77420056]

oui effectivement c'etait une indication d'un exercice mais j'avoue que je ne comprends rien aux congruence donc pourriez vous m'expliquez plus simplement car je ne comprends pas avec l'indicatrice d'euler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

C'est le théorème d'Euler, que j'ai d'ailleurs mal appliqué, puisqu'il donne . Mais peut-être ne connais-tu pas ce théorème.

Si ta question fait partie d'un problème, il serait bon que tu précises les questions intermédiaires, que l'on te guide dans la même direction.

[invite77420056]

En fait je bloque apres ça (x2+1) (x-1)(x+1)=0 modulo 30

or 30=6×5 et 6 et 5 sont premiers entre eux*après je n'y arrive plus .

[Kevin.dernoncourt]

Les congruences, de vieux souvenirs... Cependant, si ta fonction est congrue à 0 modulo 30, elle l'est aussi à la fois à 0 modulo 5 ET modulo 6, car ils sont premiers entre eux.
Tu dois donc trouver X tel que (x²+1)(x-1)(x+1)=0 [5] et (x²+1)(x-1)(x+1)=0[6]. D'ailleurs ta factorisation semble erronée, le degré factorisé vaut 4 et le degré initial est 5! Attention à cela!

Bon, donc tu cherches pour que ta fonction soit à la fois multiple de 5 et de 6 donc, en développant tu tombes sur x^4-1=0[5] et x^4-1=0[6], d'où x^4=1[5] et x^4=1[6]

Je te laisse terminer, rien de bien compliqué à partir d'ici (Cependant j'ai toujours un doute avec ta factorisation, à voir donc)

[Gandhi33]

@Seirios
Le théorème d'Euler donne donc . C'est pourquoi je pense que tu t'es trompé les deux fois.
@Kevin
Jonh ne s'était pas trompé dans son premier message.

On a le système

[Gandhi33]

Bonsoir,
La première équation est clairement vérifiée pour tout x, ainsi que la seconde. (Il est question de trois entiers consécutifs.

Pour la troisième, d'après le lemme d'Euclide, on a (modulo 5) que

Soit soit soit

Soit . Dans ce cas, on sait que les résidus quadratiques modulo 5 sont 0,1,4. Il existe donc une solution pour . . On ré-applique le lemme d'Euclide pour trouver ou

Finalement, les solutions sont tous les entiers congrus à 0;1;4;2;3 modulo 5.

L'ensemble des solutions est

Cordialement