DM Maths étude d'une suite logarithmique

[Aerospace59]

Bonjour à tous, je suis actuellement en Terminale Scientifique, et j'ai eu un DM à faire pendant les vacances.. il y a 2 exercices, un portant sur les fonctions logarithmiques, le second sur la géométrie dans l'espace.

Je suis arrivé à la partie B de l'exercice 1, que voici : "Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose : An = (n - racine(n² - 4))/2 et Xn = exp(An)

1)a) Justifier que pour tout entier naturel n (sup ou = à 2) : An>0
j'ai trouvé et écris "on veut justifier que pour tout n>=2 An>0.. Le signe de An dépend de (n - racine(n² - 4)) : si (n - racine(n² - 4))>0 alors An>0

De base on sait (par logique) que n²>n² - 4
donc n>racine(n² - 4)
et donc (n - racine(n² - 4))>0

b) On admet que pour tout n>=2, An<=1 : en déduire un encadrement de Xn.
j'ai trouvé et écris "si pour tout n>=2, An<=1, An est également >0 (d'après la 1)a) ) donc pour tout n>=2 : 0<An<=1
et comme Xn = exp(An) : exp(0)<Xn<=exp(1) soit 1<Xn<=exp(1) (puisque exp(0)=1)

Jusqu'ici tout va bien, vous me suivez toujours ? j'ai tenu à mettre ces deux premières questions afin de vous donner tous les éléments possibles pouvant m'aider à poursuivre. Le "vrai" problème pour moi commence ici :

2)a) Montrer que pour tout entier n>=2, on a : 1/ln(Xn) = (n + racine(n² - 4))/2
... la question semble très simple je l'avoue mais pourtant j'ai développé et cherché de beaucoup de manière différente mais je n'arrive pas, j'imagine que je dois utiliser les questions précédentes pour répondre (la 1)b) en particulier afin d'obtenir une inéquation à résoudre peut-être ?) mais je n'y arrive pas.. quelqu'un aurait une idée ?

voilà quand même une de mes nombreuses pistes essayées (celle-ci me semble en effet la plus simple et la plus directe) :

je développe la fraction de gauche (celle avec le logarithme) : 1/ln(Xn) = 1/ln(exp(An)) = 1/An (car ln(exp(x))=x) ensuite je continue 1/An = 1/(n - racine(n² - 4))/2 et là je bloque je ne sais plus avancer.. je peux simplifier la fraction en écrivant ((n - racine(n² - 4))/2)^-1 mais ensuite je ne sais plus du tout... :/

une idée ? merci d'avance et bonne journée !
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[Titiou64]

Bonjour,

Tu as presque fini. Au lieu d'écrire 1/An avec la puissance -1, si tu écris 1/An=2/(n-racine(n²-4)), il ne te reste plus qu'à prouver l'égalité de :
2/(n-racine(n²-4))=(n+racine(n²-4))/2 ce qui est assez évident en utilisant le produit en croix et l'identité remarquable (a-b)(a=b)=a²-b²
r

[gg0]

Bonjour.

"on sait (par logique) que n²>n² - 4 " ??Je ne sais pas ce que veut dire "par logique", simplement que tu en es sûr ? Alors que tu sais que 0>-4 puisque -4 est un négatif, et que tu peux ajouter n² des deux côtés de l'inégalité. Ainsi, tu ne te contentes pas de "savoir", tu le prouves.

Cordialement.

NB : C'est le bon moment pour t’essayer à prouver les choses "presque évidentes" (pas toujours les plus simples à prouver).

[Aerospace59]

Un grand merci à toi Titiou64 j'ai réussi ! j'ai multiplié 2/(n-racine(n²-4)) par 1, autrement dit par (n+racine(n²-4))/(n+racine(n²-4)) , j'ai obtenu 2(n+racine(n²-4))/((n-racine(n²-4))(n+racine(n²-4))) ce qui est égal d'après l'identité remarquable à
(2((n+racine(n²-4)))/(n²-(racine(n²-4))²) ce qui fait (2(n-racine(n²-4)))/(n²-n²+4) et je simplifie par le 2 du numérateur, ce qui fait bel et bien (n+racine(n²-4))/2 merci !

Pour répondre à ta remarque gg0, j'ai raisonné en me disant que puisque n²=n², n² soustrait de 4 est donc forcément plus petit que n², donc n²>n²-4. Mais j'ai compris ce que tu voulais et je pense que tu as raison, je vais rajouter cette démonstration dans mon DM merci à toi aussi !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aerospace59]

... Bonjour à tous je me permet juste de relancer cette discussion sur un détail, on me demande à la question suivante de déduire que f(Xn)=n pour tout entier n>=2 (ps : dans le dm f(x)=ln(x) + 1/ln(x) )
J'ai réussi en utilisant la question précédente que nous avions résolu ensemble, et j'ai bien trouvé n. Mais on me demande de tracer la courbe de f(x) (pas de f(Xn) mais bien de f(x) ) et de construire x2, x3 et x4 sur l'axe des abscisses de ce repère.

[Aerospace59]

Je vais essayer de vous envoyer la photo de la courbe que j'ai faite, j'ai déjà résolu ce genre de questions mais avec des suites géométriques de forme Uo et Un+1 ce qui n'est pas le cas ici, donc je suis un peu perdu...
Ps : j'ai tracé une droite d'équation y=x, en effet je crois qu'il faut toujours la tracer dans ce genre de questions, sur ce merci d'avance à tous, passez une bonne journée

[Aerospace59]

Voilà le chef d'oeuvre, merci d'avance et bonne journée à tous

[gg0]

Bonjour.

La droite a un intérêt si on te fait étudier une suite de la forme . En effet, on représente les valeurs de par des points sur l'axe des x. A partir de l'abscisse , la courbe nous donne une ordonnée sur l'axe des y, et la droite permet de transformer cette ordonnée en une abscisse.

Cordialement.