Etude d'une suite
Bonsoir
J'ai besoin de votre aide pour quelques questions qui me posent problème dans un exercice !
Voici l'énoncé :
On considère deux suites (Un) et (Vn) définies par : U0 = 1 et V0 = 12
Un+1 = (Un + 2Vn) / 3 avec n >> 0 (>> correspond à "supérieur ou égal")
Vn+1 = (Un + 3Vn) / 4 avec n >> 0
1) Démontrer que la suite (Vn-Un) est géométrique
2) Déterminer sa limite
3) Etudier le sens de variation de (Un)
4) Etudier le sens de variation de (Vn)
5) En déduire que U0 << Un < Vn << V0 pour tout n >> 0
6) Que déduire des questions précédentes ?
7) On pose tn = 3Un + 8Vn, pour n >> 0 ; montrer que la suite (tn) est constante.
8) Déterminer les limites de (Un) et (Vn)
1) On pose Wn = Vn-Un et démontrons que (Wn) est géométrique. On veut montrer que Wn+1 = qWn
Wn+1 = Vn+1 - Un+1
Wn+1 = [(Un+3Vn)/4] - [(Un+2Vn)/3]
Wn+1 = [3(Un+3Vn)/3*4] - [4(Un+2Vn)/3*4]
Wn+1 = (3Un+9Vn-4Un-8Vn)/12
Wn+1 = Vn-Un/12
Wn+1 = 1/12 (Vn-Un)
Wn+1 = 1/12 Wn
Donc (Wn) est géométrique de raison q=1/12
2) Exprimons Wn en fonction de n. (Wn) étant géométrique, on a Wn = q^n * W0
Calculons W0 :
W0 = V0 - U0
W0 = 12 - 1
W0 = 11
Donc, Wn = 11 (1/12)n
Déterminons la limite de Wn :
lim 11 * (1/12)^n = 0 car lim (1/12)^n = 0
n-->+oo n-->+oo
3) Etudions le signe de Un+1 - Un
Un+1-Un = [(Un+2Vn)/3] - Un
Un+1-Un = [(Un+2Vn)/3] - 3Un/3
Un+1-Un = 2(Vn-Un)/3
Un+1-Un = 2/3 (Vn-Un)
Un+1-Un = 2/3 Wn
Un+1-Un = 2/3 * 11 * (1/12)^n
Un+1-Un > 0 car 2/3>0 ; 11>0 et (1/12)^n > 0 puisque n>>0
On a donc Un+1 > Un donc la suite (Un) est croissante.
4) On utilisant la même méthode que dans la 3) je trouve :
Vn+1-Vn = -1/4 * 11 * (1/12)^n
On a Vn+1-Vn < 0 et donc la suite (Vn) est décroissante.
5) C'est à partir de la que je bloque...
J'arrive à faire l'initialisation mais après pour l'hérédité je ne sais vraiment pas comment faire
Pourriez vous m'aider !
Merci d'avance pour votre aide
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